ヘロンの公式とは。図解でわかるその仕組みと証明方法

 

ヘロンの公式とは、三角形の3辺の長さ \(a,b,c\) を使って素早く三角形の面積を求める公式です。

 

3辺の長さが \(a,b,c\) の三角形の面積 \(S\) は

\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

\(\left(ただし、s=\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)

で求められる

 

たとえば、「3辺の長さが \(7,6,5\) の三角形」の面積 \(S\) は

\(s=\dfrac{7+6+5}{2}=9\) から

\(S=\sqrt{9×(9-7)×(9-6)×(9-5)}\)

\(=6\sqrt{6}\) 

と求められます。

 

 

このページでは、このヘロンの公式の仕組みを図を使ってみていきましょう。

 

ヘロンの公式の図解

ヘロンの公式は、三角形 \(ABC\) の内接円 \(O\) と傍接円 \(O’\) を使って示すことができます。

 

内接円:三角形の3辺すべてと接する円

傍接円:①\(AB\) の延長線 ②\(AC\) の延長線 ③\(BC\) の3つすべてと接する円

 

6つのステップに分けてみていきましょう。

 

Step① 内接円の性質から \(S=sr\)

まず、下図のように「三角形の内接円の中心 \(O\)」を中心に三角形を3分割します。 

 

円は接線と「接点で垂直に交わる」ので、これら3つの小さな三角形はそれぞれ

底辺 \(a\)、高さ \(r\) の三角形

底辺 \(b\)、高さ \(r\) の三角形

底辺 \(c\)、高さ \(r\) の三角形

になることが分かります。

 

よって、三角形 \(ABC\) の面積 \(S\) は

\(S=sr\cdots(1)\) 

で表されることが分かります。

 

Step② \(s-a\),\(s-b\),\(s-c\) を見つける

次に、直角三角形 \(APO,AQO\) に対して三平方の定理を使うと、 \(AP=AQ\) が成り立ちます。

同様に、\(BQ=BR\)、\(CR=CP\) も成立します。

 

これらを \(○,×,△\) とおくと、三角形の3辺の和が「 \(○+△+×\) のちょうど2倍」になることが分かるので

\(s=○+△+×\) が成立。

 

\(s\) から各辺を引くことで

\(○=s-a\)

\(×=s-b\)

\(△=s-c\)

になることが分かります。

 

Step③ \(AP’=s\) を示す

次に、傍接円 \(O’\) について三平方の定理を使うと

\(CP’=CR’,BQ’=BR’,AP’=AQ’\) が成り立つことが分かります。

 

 

これらを使って上のように変形していくことで、

\(AP’=s,CP’=s-b\) になることが分かります。

 

Step④ \(△APO\) と \(△AP’O\) の相似

重要な線の長さが分かったら、次は直角三角形 \(△APO,△AP’O’\) に注目しましょう。

これら2つは共通する角 \(∠A\) をもつ直角三角形なので、3角の大きさが等しく、相似関係にあります。

 

相似な三角形の性質「対応する線分の長さの比は等しい」より

\(AP:PO=AP’:P’O’\) から \((s-a):r=s:r’\) 

 

比の「内項の積」と「外項の積」は等しいので

\((s-a)r’=sr\cdots(2)\) 

が求まります。

 

 

Step⑤ \(△COP\) と \(△O’CP’\) の相似

今度は直角三角形 \(△COP,△O’CP’\) に注目すると、下図のように相似関係にあることが分かります。

 

さきほどと同様に

相似な三角形の性質「対応する線分の長さの比は等しい」より

\(PC:PO=P’O’:CP’\) から \((s-c):r=r’:(s-b)\) 

 

比の「内項の積」と「外項の積」が等しいことから

\((s-b)(s-c)=rr’\cdots(3)\) 

が求まりました。

 

Step⑥ (1),(2),(3) を解く

最後に、Step①,④,⑤で求まった3つの式をつなげてみましょう。

\(S=sr\cdots(1)\) 
\((s-a)r’=sr\cdots(2)\) 
\((s-b)(s-c)=rr’\cdots(3)\) 

 

 

ヘロンの公式が求まりました。

 

三角関数を用いた証明

ヘロンの公式は

三角関数を使った面積公式 \(S=\dfrac{1}{2}ab \sin{C}\) 

② 余弦定理

③ 因数分解の公式 \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\)

の3つを使うと手早く証明することができます。

 

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