三平方の定理の計算と公式の証明について【直角を作りだす生活の知恵】

 

直角三角形において斜辺の長さを \(c\) 、他の二辺の長さを \(a,b\) とおいたときに

\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つ。

 

これを、三平方の定理と言います。

※英語名の「Pythagorean theorem」から、ピタゴラスの定理と呼ばれることもあります。

 

 

三平方の定理は、ぼくたちが住んでいる家・マンションの建築やリアルな3Dゲームの製作など、距離や力の働き方を精密に計算したいときに活躍する重要な定理です。

 

今回は、そんな三平方の定理について書いていきます。

photo credit:NatalieMaynor

 

「覚えやすい角度の形」と「整数比で表せる形」

三平方の定理はどんな直角三角形でも成り立つのですが、その中でも特によく見かけるものが4つあります。

 

下図は、3つの角の角度が「45°・45°・90°」である直角三角形と、「30°・60°・90°」である直角三角形。

「三角定規の形」として誰もが一度は目にしたことのある形です。

 

これらの直角三角形の三辺の比は、それぞれ「\(1:1:\sqrt{2}\)」・「\(1:\sqrt{3}:2\)」で表されます。

※\(\sqrt{2}\) は「\(2\) の平方根

 

実際に三平方の定理に代入してみると、「\(1^2+1^2=(\sqrt{2})^2\)」「\(1^2+(\sqrt{3})^2=2^2\)」が成り立つのが分かりますね。

 

次は、三辺の比がすべて整数で表せる直角三角形。

これらの直角三角形の三辺の比は、それぞれ「\(3:4:5\)」・「\(5:12:13\)」で表されます。

 

こちらも \(a^2+b^2=c^2\) に代入して、「三平方の定理」が成り立っているのを確認してみてください。

 

これら4つの直角三角形はぜひ頭に入れておきたいところ。

 

三平方の定理の公式の証明

一見すると複雑に見える三平方の定理ですが、実は意外にあっさりと証明することができます。

 

まず、4個の「長さ \(a:b:c\) の直角三角形(黄色)」を下図のように並べると、一辺が \((a+b)\) の大きな正方形と、その中に一辺が \(c\) の一回り小さな正方形(緑色)ができるのが分かります。

 

①一辺が \((a+b)\) の大きな正方形の面積は、\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

②一辺が \(c\) の正方形の面積は、\(c^2\)

③4つの直角三角形の面積の合計は、\(4×\dfrac{ab}{2}=2ab\)

 

①=②+③より、\(a^2+2ab+b^2=c^2+2ab\) ⇔ \(a^2+b^2=c^2\)

となって、三平方の定理が証明できます。

 

直角を作るための知恵

三平方の定理で重要なのは、「直角三角形は、三辺で三平方の定理が成り立つ」と同時に、「三辺で三平方の定理が成り立つ三角形は、直角三角形である」ということ。

 

 

例えば、「建築物を作るとき、地面と直角に建てる必要がある」「土地の面積を正確に求めるために、直角を調べる必要がある」といったように直角が必要になった場合。

 

「三辺の比が \(3:4:5\) の三角形は直角三角形である」ことを利用すれば、簡単に直角を作り出すことができる、というわけなんです。

 

 

距離や直角に関わる様々な領域において重要な役割を果たしている三平方の定理。

ぜひマスターして、使いこなせるようになってください!

 

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉