自然対数・常用対数・二進対数の使い分け。log,ln,lg,expはどういう意味？

 

「$a$ を何乗したら $x$ になるか」を表す数、対数。

対数は、底 $a$ と真数 $x$ を使って $\log_{a}x$ と書くのが正式な表記です。

 

例えば「$2$ を何乗したら $8$ になるか」を表す数は、 $\log_{2}8=3$ となります。 

 

ただ、 「底を明示しなくても文脈的に誤解がない」と判断された場合には、$\log\ x$ といったように底 $a$ を省略して表記されることが多いです。

 

今回は、そんな対数の省略表記・使い分けについて書いていきます。

 

 

自然対数 log,ln

まず、ネイピア数 $e≒2.718$ を底とする対数 $\log_{e}x$ のことを自然対数と言います。

自然対数 $\log_{e}x$は「$e≒2.718$ を何乗したら $x$ になるか」を表しています。

 

対数とは何なのかとその公式・メリットについて。対数をとるとはどういう意味か？ 「2」を3回かけ算すると、2×2×2＝8になりますよね。 これを「2を3乗したら8になる」と言い、以下のように書きます。 ...

 

$\log_{e}x$ は、微分すると $1/x$ になるという特徴があり、数理上の複雑な計算をするうえで非常に便利な対数です。

 

(詳しくは下記記事にて)

自然対数 log x の微分公式について。導関数の定義式と意味から分かる証明方法 ネイピア数 $e≒2.718$ に対して、 対数関数 $f(x)=\log_{e}x$ を $x$ で微分すると、...

 

そのおかげもあって、数学や統計学の世界では対数というと自然対数を指すことが多く、 $\log_{e}x$ を $\log\ x$ と省略して表記することも多いです。

 

ただし、欧米などでは $\log_{e}x$ のことは $\ln\ x$ と表記することが多いですね。

関数電卓でも $\log_{e}x$ の計算には「$\ln$」が対応しているので、ご注意を。

 

 

常用対数 log

次に、$10$ を底とする対数 $\log_{10}x$ のことを常用対数と言います。

自然対数 $\log_{10}x$は「$10$ を何乗したら $x$ になるか」を表しています。

 

常用対数は10進数と関連付けやすく、実際に値を求める際に便利なので、生物・化学・工学の世界では $\log_{10}x$ を$\log\ x$ と省略して表記することが多いです。

 

また、欧米などでは数学においても $\log_{10}x$ を $\log\ x$ と表記することが多いです。

関数電卓でも $\log_{10}x$ の計算には「$\log$」が対応しています。

 

二進対数 lg,lb,ld

$2$ を底とする対数 $\log_{2}x$ のことを二進対数と言います。

二進対数 $\log_{2}x$は「$2$ を何乗したら $x$ になるか」を表しています。

 

「電気信号ON$＝1$」「電気信号OFF$＝0$」の2進数で成り立っているコンピュータの世界で重宝される対数で、情報理論などの分野でよく使われています。

 

 

二進対数 $\log_{2}x$ は $lg\ x$ と短く表記されることが多いですが、他にも $lb\ x$ や $ld\ x$ といった表記もありますし、単に $\log\ x$ と表記されることもあります。

 

指数関数 exp

ネイピア数 $e≒2.718$ を $x$ 乗した数 $e^x$ のことを、指数関数と言います。

 

 $e^x$ は $exp(x)$ と表記されることもあります。

 

指数 $x$ がシンプルな時は $e^x$ と表記されるのが一般的ですが、$e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}$のように複雑な式の場合、指数として右上に小さく書くと読みにくいので、 $exp(-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2})$ と表記されます。

 

統計学では正規分布を始め、様々な分布の関数で登場するので、ぜひ覚えておきたいところ。

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