有理数と無理数の違い。ルート2が無理数であることの証明

 

今回は、有理数と無理数について。

 

有理数は英語で Rational Number 、無理数は英語で Irrational Number と言います。

「Ratio=比」という意味からも分かる通り、有理数とは整数の比で表される数という意味です。

 

この記事では、有理数と無理数の違いを見ていきましょう。

 

有理数か無理数か。その判別法

\(a\) , \(b\) を整数としたとき

「2つの整数 \(a\) , \(b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表せる数」のことを有理数

「2つの整数 \(a\) , \(b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表すことができない数」のことを無理数

と言います。 \((b≠0)\) 

 

 

たとえば、\(5\) や \(0.3\) や \(-\dfrac{1}{7}\) などはすべて有理数です。

 

これらは \(5=\dfrac{5}{1}\) 、 \(0.3=\dfrac{3}{10}\) 、 \(\dfrac{-1}{7}\) のように

整数 \(a\) , \(b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) の形で表せていますよね。

 

反対に、どう頑張っても \(\dfrac{a}{b}\) の形で表せない数があれば、その数は無理数と呼ばれます。

 

有理数の定義:「整数の比で表される数」

無理数の定義:「有理数でない実数」

 

有理数に含まれるもの

有理数は大きく分けて、以下の3種類に分けることができます。

  1. 整数
  2. 有限小数
  3. 循環小数

上から順番に見ていきましょう。

整数

まず、整数はすべて有理数に含まれます。

 

例えば \(1=\dfrac{1}{1}\) や \(3=\dfrac{3}{1}\) といったように、すべての整数は「整数 \(a,b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表すことができる」からです。

 

有限小数

次に、有限小数。

有限小数とは、\(0.3\) のように「小数点以下の値が無限には続かない」数のことです。

有限小数も、すべて有理数に含まれます。

 

これは例えば \(0.123=\dfrac{123}{1000}\) といったように、桁が有限の小数なら必ず整数 \(a,b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表すことができるからです。

 

循環小数

最後に、循環小数。

循環小数とは、\(\dfrac{1}{3}=0.333\cdots\) のように小数点以下の値が無限に続くけれども、その数字がループしている小数のことです。

循環小数も、すべて有理数に含まれます。

 

これを整数の比で表すには例えば \(0.2525\cdots\) のように \(25\) がループしている循環小数なら、まず \(S=0.2525\cdots\) とおくのがコツ。

次にそれを \(100\) 倍した \(100S=25.25\cdots\) から \(S\) を引くと、 \(99S=25\) ⇔ \(S=\dfrac{25}{99}\) となり、整数の比で表せるのが分かりますね。

 

ルート2が無理数である証明

ここまでは「2つの整数 \(a\) , \(b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表せる数」である有理数を見てきました。

 

その反対で「2つの整数 \(a\) , \(b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表すことができない数」が、無理数です。

 

代表的な無理数としては、\(2\) の正の平方根 \(\sqrt{2}≒1.414\) が挙げられます。

\(\sqrt{2}\) とは、\(\sqrt{2}×\sqrt{2}=2\) となるような数のことで、ルート2と読みます。

詳しくは「平方根√とは何か。計算方法・覚え方・どう役に立つのかを解説」の記事を参考にしてください。

 

\(\sqrt{2}\) は \(1.41421356\cdots\) と小数点以下の値に規則性がなく、いかにも「2つの整数 \(a\) , \(b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表すことができない」感じがしますよね。

 

実際、以下のように背理法を使うことで、\(\sqrt{2}\) が「2つの整数 \(a\) , \(b\) を使って \(\dfrac{a}{b}\) と表すことができない」ことを証明することができます。

 

Tooda Yuuto
他には、円周率 \(π≒3.14\) も無理数であることが分かっています。円周率については詳しくは「円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について」の記事も参考にしてみてください。

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉