べき乗とは何か。ゼロ乗・マイナス乗・分数乗・無理数乗ってどういう意味?

 

\(2^3\) や \(3^4\) に限らず、\(3^{-2}\)・\(5^\frac{1}{2}\)・\(8^π\) といった値も含めた「\(a\) の \(n\) 乗」の形で表される数 \(a^n\) のことを「\(a\) のべき乗」と言います。

 

この記事では、べき乗の定義と「\(3^{-2}\)・\(5^\frac{1}{2}\)・\(8^π\) とは具体的にどういう意味なのか?」について書いていこうと思います。

 

「そもそも、 \(2^3\) や \(3^4\) ってどういう意味?」という方は、ぜひ「累乗とは。その意味と計算方法を解説」の記事から読んでみてください。

 

べき乗の意味。累乗との違いは?

累乗とべき乗は、どちらも \(a^n\) で表されます。

一見すると同じ意味のようにも思えますが、厳密には

累乗は \(n\) が自然数(正の整数)に限定されている

べき乗は \(n\) が実数全体(さらには複素数全体)に拡張されている

という違いがあります。

 

※「累乗とべき乗は全く同じ『 \(n\) 乗する』という意味であり、\(n\) が自然数なのか実数なのかは問わない。べき乗の方が古い言い方なだけ」とされることもあります。

 

Tooda Yuuto
「似たような意味合いで使われているケースも多いが、べき乗というと \(3^{\sqrt{2}}\) なども含めた広い意味で使われる事が多い」とおさえておけばOKです。

 

べき乗の定義

では、実数 \(n\) に対する \(a^n\) とは具体的にどういう意味なのでしょうか?

順を追ってみていきましょう。

自然数乗

\(n\) が自然数(正の整数)のときの \(a^n\) は、「\(a\) を \(n\) 回かけ合わせた値」と定義されます。

0乗

\(n\) が \(0\) のときは、\(a^0=1\) と定義されます。

 

これは、「\(a\) を \(0\) 回かけ合わせた値」と考えると意味が分かりにくいですが、\(4\) 乗→\(3\) 乗→\(2\) 乗→\(1\) 乗と指数が \(1\) つ減るにつれて値が \(\frac{1}{a}\) 倍されているのに注目すると分かりやすいです。

 

\(a^0\) は「\(a^1\) の \(\frac{1}{a}\) 倍」と考えると \(a^0=a^1×\dfrac{1}{a}=1\) になりますよね。

 

負の整数乗

\(n\) が負の整数のときは、\(a^n=\dfrac{1}{a^{-n}}\) と定義されます。

例えば \(a^{-2}=\dfrac{1}{a^{-1×(-2)}}=\dfrac{1}{a^2}\) となります。

 

こちらも、「\(a\) を \(-2\) 回かけ合わせた値」と考えると意味が分かりにくいですが、指数が \(1\) つ減るにつれて値が \(\dfrac{1}{a}\) 倍されているのに注目すると…

\(a^{-1}=a^0×\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a}\)

\(a^{-2}=a^{-1}×\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a^2}\)

となるのが分かりますね。

分数(有理数)乗

\(n\) が \(\frac{3}{10}\) のような分数(有理数)のときは、\(n=\frac{p}{q}\) に対し \(a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\) と定義されます。

 

※ \(\sqrt[n]{x}\) は \(x\) の \(n\) 乗根

\(\sqrt[n]{x}=y\)  ⇔  \(x=y^n\)

例えば \(\sqrt[3]{125}=5\)、\(\sqrt[4]{16}=2\) となる

 

これは、\(a^2×a^3=a^{(2+3)}=a^5\) となる性質、つまり「累乗と累乗のかけ算」は「指数の足し算」になることを利用します。

 

この性質をべき乗 \(a^{\frac{1}{2}}\) に当てはめると、 \(a^{\frac{1}{2}}×a^{\frac{1}{2}}=a\) が成立。

ここから \(a^{\frac{1}{2}}\) は「\(2\) 乗したら \(a\) になる数」、すなわち \(2\) の平方根であることが分かります。

 

 

同じように、\(a^{\frac{3}{10}}\) は「\(10\) 乗したら \(a^3\) になる数 \(\sqrt[10]{a^3}\)」ですし

\(a^{1.73}\) は「\(100\) 乗したら \(a^{173}\) になる数 \(\sqrt[100]{a^{173}}\)」となります。

 

無理数乗

\(n\) が円周率 \(π≒3.14\) やネイピア数 \(e≒2.718\) 、2の平方根 \(\sqrt{2}≒1.414\) といった無理数の場合は、無理数のそばには必ず「非常に近い値の有理数」が存在することを利用します。

 

たとえば、\(2^π\) の場合。

\(3.14<π<3.15\) であることから \(2^{3.14}<2^π<2^{3.15}\) であることが分かりますよね。

ここで、より \(π\) に近い値を見ていくと \(3.141<π<3.142\) であることから、 \(2^{3.141}<2^π<2^{3.142}\) であることが分かります。

\(2^{3.14}≒8.821\) と \(2^{3.15}≒8.827\) から、\(2^π\) は約 \(8.82\) と判明。

 

ここからさらに \(2^{3.1415}<2^π<2^{3.1416}\) …と繰り返していったときの極限が、\(2^π\) の定義です。

実際に計算してみると、大体 \(2^π=8.824977827\cdots\) であることが分かります。

 

Tooda Yuuto
初めはとっつきにくいかもしれませんが、物理学や統計学ではべき乗をよく使うので、ぜひマスターしておきたいところです。

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉