正弦定理とは何か?2つの視点から分かる公式の覚え方・考え方

 

まず、半径 R の円に内接する三角形ABCを考えます。

 

ここで、点A,B,Cの内角をそれぞれ角A,B,Cとおき

点Aの反対側にある線分BCの長さを a

点Bの反対側にある線分CAの長さを b

点Cの反対側にある線分ABの長さを c

とおいたとき、以下の等式が成り立つことを正弦定理と言います。

 

三角形の向い合う辺と角に対して

「辺の長さ」と「角の正弦(sin)」の比は常に外接円の直径(2R)と等しくなる

 

それが、正弦定理です。

 

垂直な補助線から分かる正弦定理

 

向かい合う辺と角について「辺の長さ」と「角の正弦(sin)」の比が一定であることは、下図のように直線BCと垂直に交わる補助線ADを引くと分かりやすくなります。

まずは、左側の直角三角形ABDに注目してみてください。

ABDの斜辺の長さはAB= c なので、三角関数の定義からAD= c sin B と分かりますね。

 

次に、右側の直角三角形ACDに注目。

直角三角形ABDの斜辺の長さはAC= b なので、同様にAD= b sin C と求まります。

 

これらは同じ線分ADに関する等式なので、 c sin B =AD= b sin C となり

両辺を sin B ×  sin C で割ると c/sinC=b/sinB が求まり、正弦定理の形になりました。

 

 

c/sinC=b/sinB が求まったら、次は c/sinC=a/sinA を求めましょう。

これは、さきほどと同じ流れを直線ACと垂直に交わる補助線BEについて考えればOKです。

ここから、c/sinC=a/sinAが成立。

 

結果、a/sinA=b/sinB=c/sinCとなり、向かい合う辺と角について「辺の長さ」と「角の正弦(sin)」の比が一定であることを示せました。

 

円周角の定理

 

「辺の長さ」と「角の正弦(sin)」の比が外接円の直径(2R)と等しくなることは、円周角の定理を利用すると分かりやすくなります。

 

円周角の定理とは「1つの孤BCに対する中心角∠BOCは円周角∠BACの2倍の大きさになる」という定理です。

∠BOC=2×∠BAC

円周角の定理は、上図のように「二等辺三角形の底角が等しいこと」「三角形の内角の和は180°であること」を利用することで証明できます。

 

円周角の定理から分かる正弦定理

 

円周角の定理から ∠BOC=2×∠BAC が分かったら、次は線分BCの中点Mを考えます。

 

Mは線分BC(=a)の中点なので、BMの長さは a/2

三角形OBMとOCMは合同より、∠OMB=90°

∠BOMは「∠BOCの半分」なので、∠BOM=(2×∠BAC)÷2となり、∠BOMと∠BACが等しくなることが分かります。

 

あとは、直角三角形OBMに注目すると sin ∠BOM は三角比の定義からBM/OB=a/2R

sin ∠BOM =sin A から、sin A =a/2R ⇔ 2R=a/sin A を導くことができました。 

 

 

Tooda Yuuto

余弦定理と比べると使用頻度が低いせいか、意外とド忘れしやすい定理だと思います。図を使って形を覚えておくと忘れにくいですね。

 

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。