接弦定理とは何か。角度別に分かるその証明方法

 

「円の接線 \(AT\) と弦 \(AB\) が作る角 \(∠BAT\) は、弦 \(AB\) に対する円周角 \(∠ACB\) と等しい」という定理を、接弦定理と言います。

 

接弦定理は、\(∠BAT\) が鋭角・直角・鈍角のどの場合でも成り立ちますが、それぞれ証明の仕方が少しずつ変わってきます。

 

 

今回は、接弦定理の証明方法を鋭角・直角・鈍角の3つのパターンに分けて見ていきましょう。

 

① 鋭角のとき(∠BAT < 90°)

初めに、円の接線 \(AT\) と弦 \(AB\) が作る角 \(∠BAT<90°\) のとき。

 

まず、\(AD\) が円の直径になるように、点 \(D\) をとります。

 

ここで、三角形 \(ABD\) に注目すると、以下の4つの式が成り立つことが分かります。

円周角の定理から \(∠ADB=∠ACB\) 

タレスの定理(直径に対する円周角は直角)から \(∠ABD=90°\)

\(AT\) は円の接線⇔ \(∠TAD=90°\)(後述) より、\(∠BAT=90°-∠BAD\)

● 三角形の内角の和は \(180°\) より、\(∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB\) 

 

これら4つの式を繋げると

\(∠BAT=∠ACB\) となり、接弦定理を証明できました。

 

 

② 直角のとき(∠BAT = 90°)

次は、円の接線 \(AT\) と弦 \(AB\) が作る角 \(∠BAT=90°\) のとき。

 

三角形 \(ABC\) に注目すると

タレスの定理(直径に対する円周角は直角)から \(∠ACB=90°\)

\(AT\) は円の接線⇔ \(∠BAT=90°\) 

 

\(∠BAT=∠ACB\) となり、接弦定理を証明できました。

 

③ 鈍角のとき(∠BAT > 90°)

最後は、円の接線 \(AT\) と弦 \(AB\) が作る角 \(∠BAT>90°\) のとき。

 

\(T\) とは反対側に点 \(U\) を取ると

弦 \(AC\) について、「① 接弦定理(鋭角)」から \(∠CAU=∠ABC\) が成り立ちます。

 

あとは「三角形の内角の和は \(180°\) 」「直線は \(180°\)」を使うと

\(∠BAT=∠ACB\) となり、接弦定理を証明できました。

 

円の接線が接点を通る直径と垂直になる理由

「円の接線 \(AT\) と、接点 \(A\) を通る直径 \(AD\) が垂直に交わる \(∠TAD=90°\) 」ことは、直径 \(AD\) と垂直に交わる直線 \(L\) を少しずつ下にずらしていくことで分かります。

 

直線 \(L\) と円の共有点を \(X,Y\)、直径 \(AD\) と直線 \(L\) の交点を \(H\) としたら

三角形 \(OXY\) は二等辺三角形になります。

そのため、直線 \(L\) を下にずらしていくと、\(X\) と \(Y\) はどんどん \(H\) に近づいていき、最終的に \(X,Y\) が \(H\) と重なることが分かります。

※共有点:交点,接点などの総称

 

このとき、「直線 \(L\) と円の共有点」である \(X\) と \(Y\) が重なった

⇒直線 \(L\) と円の共有点が1つになった

⇒直線 \(L\) は円の接線 \(AT\) と一致(接線の定義は円との共有点が1つ)

⇒直線 \(L\) は直径 \(AD\) と垂直に交わる直線

⇒円の接線 \(AT\) は直径 \(AD\) と垂直に交わる

となり、\(∠TAD=90°\) となることが分かります。

 

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉