円に内接する四角形の性質まとめ【対角の和が180°になる理由】

 

四角形の\(4\)つの頂点 \(A,B,C,D\) がすべて同じ円周上にある(内側から接している)とき、「四角形 \(ABCD\) は円に内接する」といいます。

反対に、四角形 \(EFGH\) の\(4\)つの辺がすべて同じ円に外側から接しているとき、「四角形 \(EFGH\) は円に外接する」といいます。

>>関連記事:円に外接する四角形の性質まとめ【向かい合った辺の合計が等しくなる理由】

 

 

四角形 \(ABCD\) が円に内接していると、色んなことが分かります。

 

例えば、向かい合った角の和は \(180°\) になりますし、トレミーの定理と呼ばれる等式が成り立つという性質もあります。

 

 

このページでは、そんな「円に内接する四角形がもつ性質」をみていきましょう。

 

① 対角の和は180°

円に内接する四角形の対角の和は \(180°\)

 円に内接する四角形の内角は、その対角の外角と等しい

 

まず、円に内接する四角形では \(∠A+∠C=180°\) が成り立ちます。

 

 

対角の和が \(180°\) になる理由は、円周角の定理から説明できます。

 

円の中心を点 \(O\) 、\(∠A=θ\) とおくと

円周角の定理より中心角は円周角の2倍なので、\(∠BOD(青)=2θ\)

次に、一周は \(360°\) であることから \(∠BOD(赤)=360°-2θ\)

円周角は中心角の半分なので、\(∠C=(360°-2θ)÷2=180°-θ\)

となり、\(∠A+∠C=180°\) であることが示されました。

 

Tooda Yuuto
内角と外角の和も \(180°\) であることから、\(∠A\) が \(∠DCT\) と等しくなることも分かりますね。

 

 

② トレミーの定理

 \(AB×CD+AD×BC=AC×BD\)

 

円に内接する四角形の向かい合う \(2\) 組の辺をそれぞれかけ算した合計が、対角線の積と一致するという定理です。

 

トレミーの定理は、長方形で考えると理解しやすくなります。

 

 

ちょうど、三平方の定理と同じ式になりますね。

 

③ 方べきの定理

四角形の対角線の交点を \(P\)、\(AD,BC\) の延長上の交点を \(X\) とおいたとき

 \(PA×PC=PB×PD\)

 \(XA×XD=XB×XC\)

 

方べきの定理については、以下のページで詳しく解説しています。

 

④  ブラーマグプタの公式

円に内接する四角形の \(4\) 辺の長さが \(a,b,c,d\) のとき

\(s=\dfrac{a+b+c+d}{2}\) とおくと

四角形の面積 \(S\) は \(S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\) で表される 

 

円に内接する四角形の面積は、三角形の面積の公式 \(\dfrac{1}{2}\sin{θ}\) を使って求めさせる問題が多いですが、このブラーマグプタ公式を覚えておくと素早く答えを出すことができます。

 

 

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