微分の公式一覧【パッと見復習用】

 

今回は、よく使う微分の公式をまとめてみました。

微分(導関数)の定義式

関数 \(f(x)\) に対して、導関数 \(f'(x)\) は以下の式で定義される

● $\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $ 

xのn乗の微分公式

 \((x^n)’=nx^{n-1}\)  (\(n\) は実数) 

最も基本となる公式

 \(\left(\dfrac{1}{x}\right)’=-\dfrac{1}{x^2}\)

\((\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)

\((x^n)’=nx^{n-1}\) に \(n=-1\) や \(n=\dfrac{1}{2}\) を代入すると求まる

定数倍の微分公式

 \((a)’=0\)  (\(a\) は実数)

 \((ax)’=a\)

 \((a\cdot f(x))’=a\cdot f'(x)\)

例: \((5x^3)’=5×3x^{3-1}=15x^2\)  \((7x^4)’=7×4x^{4-1}=28x^3\)

三角関数の微分公式

\((\sin x)’=\cos x\)

\((\cos x)’=-\sin x\)

 \((\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2 x}\)

指数関数の微分公式

\((e^x)’=e^x\)

\((a^x)’=a^x\log_{e}{a}\)

\(e≒2.718\) はネイピア数 , \(a\) は任意の実数

※「\(a^x\) の微分」と「\(x^n\) の微分」の混同に注意【〇の\(x\)乗 or \(x\)の〇乗】

対数関数の微分公式

\((\log_{e}{x})’=\dfrac{1}{x}\)

\((\log_{a}{x})’=\dfrac{1}{x\log_{e}{a}}\)

\((\log_{e}{|f(x)|})’=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\)

\(\log_{e}{x}\) は自然対数。\(\log{x}\) と省略表記されることが多い

対数微分法

\((x^x)’=(\log_{e}{x}+1)x^x\)

\(y=x^x\) の両辺の対数をとってから微分することで求まる

これは丸暗記するよりも対数微分法のやり方を覚えたほうが早い

和・積・商の微分

\((a\cdot f(x)+b\cdot g(x))’=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x)\)

例:\((2x^3+4x^5)’=2×(x^3)’+4×(x^5)’\)

\(=2×3x^{3-1}+4×5x^{5-1}=6x^2+20x^4\)

\((f(x)\cdot g(x))’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)

例:\((x^3\sin{x})’=(x^3)’\sin{x}+x^3(\sin{x})’\)

\(=3x^2\sin{x}+x^3\cos{x}\)

\(\left(\dfrac{f(x)}{h(x)}\right)’=\dfrac{ f'(x)\cdot h(x)-f(x)\cdot h'(x) }{ \{{h(x)}\} ^2 }\)

\(g(x)=\{h(x)\}^{-1}\) と考えると積の微分公式からも求められる

合成関数の微分

 \(\{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x)\)

例:\(\{\sin^3 {x}\}’=3\sin^2{x}(\sin{x})’=3\sin^2{x}\cos{x}\)

\(f(x)=x^3\) , \(g(x)=\sin{x}\)

 

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Tooda Yuuto

数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉