平方完成のやり方と平方完成するメリットについて

 

\(ax^2+bx+c\) の形の二次式を \(a(x-p)^2+q\) の形に変形することを平方完成と言います。

 

\(m^2\) のことを「平方メートル」と呼ぶように、2乗した値のことを「平方」と呼びます。

平方完成とは「平方 \((x-p)^2\) の形を完成させる」という意味です。

 

この記事では「平方完成のやり方」と「平方完成をするメリット」を見ていきましょう。


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平方完成のやり方

問1.\(3x^2+18x+16\) を平方完成してください。

平方完成は、以下の4つのステップで行います。

step① \(x\) を含む項を「\(x^2\) の係数」でくくる

step②カッコ\(()\)の中で「\(x\) の係数の半分の2乗」を足し引きする

step③平方の形を作る

step④中カッコ\(\{\}\)を外して定数項を整理する

 

カッコ\(()\)の中で「\(x\) の係数の半分の2乗」を足して引くのが特に重要なポイント。

今回はカッコの中の \(x\) の係数は \(6\) なので、その半分の2乗である \(3^2=9\) を足して引きます。

 

Tooda Yuuto
これにより \(x^2+2dx+d^2=(x+d)^2\) の公式を使って平方の形を作るのが目的です。

 

図形で分かる平方完成の公式

一般形 \(ax^2+bx+c\) を平方完成して得られるのが、以下の公式。

 

特に \(a=1\) のときは $\displaystyle \left(x+\frac{b}{2}\right)^2+c-\frac{b^2}{4}$ となります。

 

図にするとこんな感じですね。

平方完成するメリット

平方完成は二次関数 \(y=ax^2+bx+c\) の頂点を求められるので、二次関数のグラフを描きたいときに便利な手法です。

問2.\(y=3x^2+18x+16\) のグラフを図示してください。

解答. \(y=3x^2+18x+16\) を平方完成すると、\(y=3(x+3)^2-11\)。

よって、\(y=3x^2\) を \(x\) 軸方向に \(-3\) , \(y\) 軸方向に \(-11\) だけ平行移動した、頂点 \((-3,-11)\) の二次曲線を描けばよい。

 

また、「実数を2乗したら、必ず \(0\) 以上の値になる」という性質があるのも重要なポイント。

例えば、いろんな制約条件のもとで「どの組み合わせならコストを最小化できるか」を考えるときに平方の形を利用したりしますね。

 

問3.実数 \(x,y\) が \(2x^2+3xy+2y^2=3\) を満たす時、\(x+y+xy\) の最小値はいくつか?

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。