内積とは何なのか?ベクトルの内積の2つの求め方とその活用法

 

2つのベクトルに対して、以下の式で表される値をベクトルの内積と言います。

 

内積は「ドット積」(英語で dot product)とも呼ばれる

 

たとえば、\((1,2)\) と \((3,4)\) の内積は、\(1×3+2×4=11\) となります。

 

 

内積は「こういう値を定義しておくと色んな使い道があって便利」くらいの意味合いの数値です。

 

今回は、そんな内積の考え方と使い道を見ていきましょう。

 


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内積の定義

ベクトルの内積には、2つの定義の仕方があります。

 

1つは幾何学(図形・空間の性質について研究する分野)による定義。

もう1つは代数学(文字を用いて方程式の解法を研究する分野)による定義です。

 

① \(\vec{\ a\ }\cdot\vec{\ b\ }=|\vec{\ a\ }||\vec{\ b\ }|\cos{θ}\) と定義する(幾何的定義)

② \(\vec{\ a\ }\cdot\vec{\ b\ }=a_1b_1+a_2b_2\) と定義する(代数的定義)

 

片方の式で内積を定義すれば、余弦定理からもう片方の式を導きだせるので、どちらで定義しても問題ありません。

 

 

ただ、

  いきなり①と定義すると「なぜ急に \(\cos{θ}\) が出てくるのか」に戸惑いやすい

 \(n\) 次元ベクトルの内積の定義は②の形のほうが一般的

「②の式から内積を求め、②=①を使って \(\cos{θ}\) を求める」のような使い方をする

といった理由から「②と定義し、余弦定理から①が導かれる」と考えた方が理解しやすいです。

 

内積の求め方

内積を理解するために、例題を解いてみましょう。

 

【例題】\(\vec{\ a\ }=(1,3),\) \(\vec{\ b\ }=(2,1),\) \(|\vec{\ a\ }|=\sqrt{10},\) \(|\vec{\ b\ }|=\sqrt{5},\) \(\vec{\ a\ }\) と \(\vec{\ b\ }\) のなす角 \(θ=45°\) とする。このとき、2つのベクトルの内積は? 

 

まずは、①の式を用いた求め方。

 

 

次は、②の式を用いた求め方。

 

 

どちらの式を使っても、2つのベクトルの内積が \(5\) になることが分かります。

 

Tooda Yuuto
提示された情報に合わせて、①と②のどちらの式を使えばより早く答えを導き出せるか考えて計算するのがポイントです。

 

内積の具体的な活用法

内積の活用法は色々ありますが、その中の1つに「①=②が成り立つことを利用して2つのベクトルの角度を手軽に把握・計算する」という使い方が挙げられます。

 

例えば、先ほどの例題では2つのベクトルのなす角は \(θ=45°\) と与えられていましたが、もし \(θ\) の値が分かっておらず、\(θ\) の値を知りたいという状態の場合。

 

内積の①=②という性質を利用すれば素早く角度を求めることができます。

 

 

カンタンに \(\cos{θ}\) が求まるということは「カンタンに \(\vec{\ b\ }\cos{θ}\) が求まる」 ということでもあります。

 

そのため「操作キャラクターが物体に斜めに衝突したときの力のかかり方移動距離」を計算したいときも、内積をプログラミング上で定義しておくと便利です。

 

 

内積のこの性質は3次元ベクトルに拡張しても成り立つので、3次元空間上の計算にも応用がききます。

 

Tooda Yuuto
3DCG・プログラミングの世界において、限られた計算リソースを無駄にすることなく高度な力学計算を行ううえで、内積は非常に重要な役割を担っています。

 

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉