二次方程式の意味と解き方まとめ【解の公式・因数分解】

 

二次方程式とは、2x2+3x+1=3 のような「xの2乗までを含む方程式」のことを言います。

 

二次方程式の意味をキチンと理解するために、「方程式」と「2乗する」の意味から確認していきましょう。

 

 

まず、未知の値 \(x\) を使った等式のことを、方程式と言います。

未知の値を \(x\) とおいて、成り立つ等式から \(x\) の値を逆算していくのが方程式の目的です。 

そして

\(3^2=3×3=9\) のように同じ数を \(2\) 回かけ合わせることを「 \(2\) 乗する」

\(5^3=5×5×5=125\) のように同じ数を \(3\) 回かけ合わせることを「 \(3\) 乗する」

と言います。

 

ここで、

\(3x^2-x=4\) や \(x^2=16\) のように「 \(x\) の \(2\) 乗までを含む方程式」のことを二次方程式

\(2x^3-1=3x^2\) や \(x^3=125\) のように「\(x\) の \(3\) 乗までを含む方程式」のことを三次方程式

と言います。

 

このページでは、この二次方程式の解き方を見ていきましょう。

 

二次方程式の3つの解き方

2次方程式の解き方は、大きく分けて3種類あります。

 

上から順番に見ていきましょう。

 

(1)平方根

二次方程式は、平方根の性質「\(x^2=n\) のとき、\(x=±\sqrt{n}\)」を利用して解くことができます。

 

Tooda Yuuto
実際に問題を解いてみましょう。

 

【問①】\(4x^2-30=6\) を解いてください

 

【問②】\(3(x-4)^2-8=0\) を解いてください

 

平方根の計算方法まとめ。おさえておくべき4つのポイント」の記事でも解説したように

【平方根のルール】

ルートの中身をできるだけ簡単にする

 分母に平方根があるときは、分母の有理化を行う

に気をつけながら計算するのがポイントです。

 

(2)因数分解による解法

二次方程式\(「ax^2+bx+c=0」\)は、左辺を一次式 \(px+q\) の積に因数分解できれば

\(A×B=0\) ⇔ \(A=0\ または\ B=0\) 

を利用することで、その解を求めることができます。

 

【問③】\(2x^2-2x-12=0\) を解いてください

 

【問④】\(-12x^2+7x+10=0\) を解いてください

 

「たすきがけ」については「因数分解の問題の解き方とコツ。2乗・3乗公式とたすきがけ」の記事も参考にしてみてください。

 

(3)解の公式

解の公式(Ⅰ)型

\(「ax^2+bx+c=0」\)の解は、二次方程式の解の公式に \(a,b,c\) を代入して求めることもできます。

 

この公式の求め方は「二次方程式の解の公式。導き方・証明法を分かりやすく解説」の記事で紹介しています。

 

【問⑤】\(x^2+6x+3=0\) を解いてください

 

【問⑥】問④の方程式、 \(-12x^2+7x+10=0\) を解の公式を用いて解いてください

 

解の公式(Ⅱ)型

\(「ax^2+bx+c=0」\) の解の公式は、\(b\) が偶数で \(b=2b’\) とおける場合は、少し簡単に求めることができます。

 

計算時間を短縮できる(約分する手間が減る)というだけで、やっていることは解の公式(Ⅰ)型とまったく同じです。

 

【問⑦】\(3x^2+8x-4=0\) を解いてください

こちらの公式を使わずとも解の公式(Ⅰ)型からでも求められるので、2つの公式を混同しそうなら、まずは解の公式(Ⅰ)型だけ覚えることを優先しましょう。

 

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