因数分解の問題の解き方とコツ。2乗・3乗公式とたすきがけ

 

数の中には「2つ以上の数のかけ算」に変形できるものがたくさんあります。

例えば \(x^2-1\) は \((x+1)(x-1)\) というかけ算に変形できますよね。

 

このように特定の数を「2つ以上の数のかけ算」に変形することを、因数分解と言います。

因数分解の中でも \(21=3×7\) や \(12=2^2×3\) のように自然数を「素数のかけ算」に変形することを特に素因数分解と言います。

 

「因数分解する」を英語で言うと、Resolve into factors 。

「売上=価格×販売数」や「距離=速度×時間」のように「ある数値がどんなfactor(要因)から成り立っているか」を分解して考えることは、どんな分野でも欠かす事のできない重要な思考法です。

 

今回は、そんな因数分解の解き方のコツを見ていきましょう。

因数分解と展開の違い。2乗・3乗の公式

因数分解は、「式の展開」の反対に相当する変形です。

 

カッコの中を1つずつかけ算していけば求まる「展開」と異なり、因数分解は公式を知らないと解き方の検討がつかないケースもあります。

 

Tooda Yuuto
特に2乗の公式と3乗の公式はよく使うので、形を見ただけで「あの公式だな」と思い出せるようになるまで繰り返し演習することが重要です。

 

 

因数分解の問題と解き方

因数分解の問題は、主に以下の手順で解くのがオススメです。

  1. 共通する因数でくくる
  2. 因数分解の公式を当てはめる
  3. 因数の1つが \(0\) になるような \(x\) を元の式に代入して正しいかチェックする

 

具体的に、例題を見ていきましょう。

問①.\(2x^2-12x+18\) を因数分解してください

 

\(x^2-6x+9\) の形を見た瞬間に「2倍したら \(-6\)、2乗したら \(9\) 」となる数 \(-3\) が頭に思い浮かぶようになれば完璧です。

 

問②.\(3x^2-12x-15\) を因数分解してください

 

\(x^2-4x-5\) の形を見たときに「足したら \(a+b=-4\)、かけたら \(ab=-5\) 」となる \(a,b\) の組み合わせを考えるのがコツです。\((-5\) と \(1)\)

 

たすきがけの公式

\(3x^2-7x+2\) のように「共通する因数でくくっても、\(x^2\) の係数が \(1\) にならない式」を因数分解する場合には、「たすきがけ」というテクニックを使います。

 

文字だけだとピンと来にくいと思うので、具体例を通じてやり方を見ていきましょう。

 

問③. \(3x^2-7x+2\) を因数分解してください
  1. \(x^2\) の係数が \(3\) なので、積が \(3\) になる2つの正の数 \(a,c\) を探す \((3,1)\)
  2. 定数項が \(2\) なので、積が \(2\) になる2つの数 \(b,d\) を探す \((1,2),(-1,-2)\)
  3. \(x\) の係数が \(-7\) なので、斜めにかけ算して足した答えが \(-7\) になる組み合わせを探す
  4. \((ax+b)(cx+d)\) に因数分解できる

 

\(a=3\),\(b=-1\),\(c=1\),\(d=-2\) の組み合わせで「斜めにかけ算して足した答えが \(-7\) になる」ので

\(3x^2-7x+2=(3x-1)(x-2)\)

と求まります。

 

問④. \(6x^2+5x-21\) を因数分解してください
  1. \(x^2\) の係数が \(6\) なので、積が \(6\) になる2つの正の数 \(a,c\) を探す
  2. 定数項が \(-21\) なので、積が \(-21\) になる2つの数 \(b,d\) を探す
  3. \(x\) の係数が \(5\) なので、斜めにかけ算して足した答えが \(5\) になる組み合わせを探す
  4. \((ax+b)(cx+d)\) に因数分解できる

\(a,c\) の組み合わせは \((1,6)\) か \((2,3)\) 

\(b,d\) の組み合わせは \((1,-21)\) か \((-1,21)\) か \((3,-7)\) か \((-3,7)\) 

 

これらを上手く組み合わせて「斜めにかけ算して足した答えが \(5\) になる組み合わせ」を探します。

 

\(a=2\),\(b=-3\),\(c=3\),\(d=7\) の組み合わせで「斜めにかけ算して足した答えが \(5\) になる」ので

\(6x^2+5x-21=(2x-3)(3x+7)\)

と求まります。

 

xの2乗,yの2乗,xy,x,yを含む因数分解

問⑤.\(2x^2+3y^2+7xy+x-7y-6\) を因数分解してください

このタイプの問題は、以下の手順で解くのがオススメです。

  1. \(x\) の2乗、1乗、0乗の項ごとに分ける
  2. \(x\) の0乗の項を \(y\) で因数分解する
  3. \(y\) で因数分解した結果を定数項と考えて、たすきがけを行う

 

結果、\((2x+y-3)(x+3y+2)\) と求まりました。

 

Tooda Yuuto
「どうすれば売上を伸ばせるか?」を考えるには「売上=価格×販売数」と分解したほうが考えやすくなるように、因数分解をすると「どうすればこの数値を増やせるか?」の分析が上手くいきやすくなりますよ。

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉