平方根(ルート)の計算方法まとめ。おさえておくべき4つのポイント

 

今回は、平方根の足し算・引き算・かけ算・割り算を4つのポイントに分けて解説していきます。

 

平方根の意味については「平方根√とは何か。覚え方・どう役に立つのかを解説」の記事で解説しています。

 

①ルートの中身を簡単にする

分数を使って数字を表すときは \(\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\) のようにできるだけ約分をしますよね。

 

それと同じで、平方根を使って数を表すときはルートの中身を可能な限り小さな自然数にします。

\(\sqrt{28}\) のルートの中身を可能な限り簡単にしてください

\(\sqrt{28}=\sqrt{2×2×7}=2\sqrt{7}\)

 

\(\sqrt{180}\) のルートの中身を可能な限り簡単にしてください

\(\sqrt{180}=\sqrt{2^2×3^2×5}\)

\(=2×3×\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)

 

②平方根の足し算・引き算

平方根の足し算と引き算は、ルートの中身が同じ数を1つにまとめます。

パッと見は中身が異なる場合でも、ルートの中身を簡単にすると同じになるケースもあるので、ルートの中身を可能な限り簡単にしてから足し算・引き算を行います。
\(\sqrt{50}+\sqrt{18}\) を計算してください

\(\sqrt{50}+\sqrt{18}=\sqrt{5^2×2}+\sqrt{3^2×2}\)

\(=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(5+3)\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)

 

\(7\sqrt{3}-\sqrt{27}\) を計算してください

\(7\sqrt{3}-\sqrt{27}=7\sqrt{3}-\sqrt{3^2×3}\)

\(=7\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(7-3)\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

 

\(3\sqrt{3}+\sqrt{3}+5\sqrt{5}-3\sqrt{5}\) を計算してください

\(3\sqrt{3}+\sqrt{3}+5\sqrt{5}-3\sqrt{5}\)

\(=(3+1)\sqrt{3}+(5-3)\sqrt{5}\)

\(=4\sqrt{3}+2\sqrt{5}\)

 

③平方根のかけ算・割り算

平方根のかけ算と割り算は、ルートの中身をそのままかけ算・割り算します。

\(5\sqrt{2}×3\sqrt{2}\) を計算してください

\(5\sqrt{2}×3\sqrt{2}=(5×3)\sqrt{2×2}\)

\(=15×2=30\)

 

\(4\sqrt{3}×2\sqrt{5}\) を計算してください

\(4\sqrt{3}×2\sqrt{5}=(4×2)\sqrt{3×5}=8\sqrt{15}\)

 

\(4\sqrt{6}÷2\sqrt{2}\) を計算してください

\(4\sqrt{6}÷2\sqrt{2}=(4÷2)\sqrt{6÷2}=2\sqrt{3}\)

 

\(4\sqrt{30}×3\sqrt{21}÷6\sqrt{14}\) を計算してください

\(4\sqrt{30}×3\sqrt{21}÷6\sqrt{14}\)

\(=(4×3÷6)\sqrt{30×21÷14}\)

\(=2\sqrt{45}=2\sqrt{3^2×5}\)

\(=2×3×\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)

 

Tooda Yuuto
「ホントに平方根の中身をそのままかけ算・割り算して大丈夫なの?」と不安なときは「2乗したらどうなるか?」をイメージすると分かりやすくなりますよ。

 

④分母を有利化する

分数の分母に平方根がある場合には、計算しやすくするために分母と分子に同じ数をかけることで分母に平方根を含まない形に変形します。

これを分母の有利化といいます。

\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) と \(\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\) について分母の有利化をしてください

\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{7}}{2\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}\)

 

平方根の計算まとめ

  1. 平方根の中身は可能な限り簡単にする
  2. 平方根の足し算・引き算はルートの中身が同じ数を1つにまとめる
  3. 平方根のかけ算・割り算はルートの中身をそのまま計算する
  4. 分母に平方根があるときは有利化する

 

SPONSORED LINK

 

ツイッターやブログ等でシェアしていただけると、非常に励みになります。

Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。