平方根(ルート)の計算方法まとめ。おさえておくべき4つのポイント

このページでは、平方根の足し算・引き算・かけ算・割り算を4つのポイントに分けて解説していきます。

①ルートの中身を簡単にする

分数を書くときは \(\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\) のように可能な限り「約分」をしますよね。

それと同じで、平方根を使って数を表すときはルートの中身を可能な限り小さな自然数にします。

\(\sqrt{28}=\sqrt{2×2×7}=2\sqrt{7}\)

\(\sqrt{180}=\sqrt{2^2×3^2×5}\)

\(=2×3×\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)

②平方根の足し算・引き算

平方根の足し算と引き算は、ルートの中身が同じ数を1つにまとめます。

\(\sqrt{50}+\sqrt{18}=\sqrt{5^2×2}+\sqrt{3^2×2}\)

\(=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(5+3)\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)

\(7\sqrt{3}-\sqrt{27}=7\sqrt{3}-\sqrt{3^2×3}\)

\(=7\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(7-3)\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

\(3\sqrt{3}+\sqrt{3}+5\sqrt{5}-3\sqrt{5}\)

\(=(3+1)\sqrt{3}+(5-3)\sqrt{5}\)

\(=4\sqrt{3}+2\sqrt{5}\)

③平方根のかけ算・割り算

平方根のかけ算と割り算は、ルートの中身をそのままかけ算・割り算します。

\(5\sqrt{2}×3\sqrt{2}=(5×3)\sqrt{2×2}\)

\(=15×2=30\)

\(4\sqrt{3}×2\sqrt{5}=(4×2)\sqrt{3×5}=8\sqrt{15}\)

\(4\sqrt{6}÷2\sqrt{2}=(4÷2)\sqrt{6÷2}=2\sqrt{3}\)

\(4\sqrt{30}×3\sqrt{21}÷6\sqrt{14}\)

\(=(4×3÷6)\sqrt{30×21÷14}\)

\(=2\sqrt{45}=2\sqrt{3^2×5}\)

\(=2×3×\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)

Tooda Yuuto

「ホントに平方根の中身をそのままかけ算・割り算して大丈夫なの？」と不安なときは「2乗したらどうなるか？」をイメージすると分かりやすくなりますよ。

④分母を有理化する

分数の分母に平方根がある場合は、計算しやすくするために分母と分子に同じ数をかけることで分母に平方根を含まない形に変形します。

この変形のことを分母の有理化といいます。

\(\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{7}}{2\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}\)

平方根の計算まとめ