数学の疑問

置換積分の公式と例題。三角関数sin,tanを使ったパターンの解き方

 

このページでは、色々な置換積分のやり方を見ていきます。

 


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累乗の中身を \(t\) をおくパターン

一番基本的なパターン。

累乗の中身を \(t\) とおいてから \(dx/dt\) を求め、変換していきます。

 

\(g'(x)\) を探すパターン

ルート累乗といった複雑なかたまりの中身 \(g(x)\) に注目して、それを微分した \(g'(x)\) がどこかに無いか探すパターン。

 

\(g'(x)\) が見つかれば \(t=g(x)\) とおくことで \(g'(x)dx=\dfrac{dt}{dx}{dx}=dt\) となり、積分しやすい形に変換できます。

 

 

\(x=a\sin{θ}\) とおくパターン

\(\sqrt{a^2-x^2}\) の形のパターン

\(\sqrt{a^2-a^2\sin^2{θ}}=\sqrt{a^2\cos^2{θ}}=|a\cos{θ}|\)

と変形するために \(x=a\sin{θ}\) とおくのがコツ。

 

 

\(x=a\tan{θ}\) とおくパターン

\(\dfrac{1}{x^2+a^2}\) の形のパターン

\(\dfrac{1}{a^2(\tan^2{θ}+1)}=\dfrac{1}{a^2}\cos^2{θ}\)

と変形するために \(x=a\tan{θ}\) とおくと上手くいきます。

 

 

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