置換積分法とは。5つのステップから分かる置換積分のやり方とコツ

 

置換積分法とは、変数をうまく変換することで計算量を減らすテクニックです。

 

たとえば、$\displaystyle \int x(2-x)^4 dx$ を考えてみましょう。

 

この積分は、このままだと \((2-x)^4\) を展開しないと積分の公式を当てはめることができません。

しかし、\((2-x)^4\) の展開はかなり手間がかかりますし、力技で解けても応用が効きません。

 

 

そこで \((2-x)=t\) と変換することで積分の公式を使いやすい形に変え、計算を楽にする。

 

それが、置換積分法です。

 

今回は、置換積分のやり方とコツを5つのステップに分けて解説していきます。

 

置換積分のやり方とコツ

置換積分法は、大きく分けて5つのステップから成り立っています。

 

以下の例題を通じて、順にみていきましょう。

 

Step① \(=t\) に置きかえるものを決める

まず、\(x\) を使った式を \(t\) に置きかえます。

 

例題では、\((2x+1)^4\) の展開をする手間をなくしたいので、\(2x+1=t\) と置きます。

 

「どの部分を \(t\) に置きかえるか」の判断には慣れが必要ですが、

とりあえずはルート累乗のなかの複雑なかたまりを \(t\) と置いてみるとうまく行くことが多いです。

 

 

Step② \(x=g(t)\) の形に変換して \(t\) で微分。\(dx/dt\) を求める

次に、Step①で置いた「 \(x\) と \(t\) の式」を

\(x=g(t)\) の形に直してから \(t\) で微分して \(dx/dt\) を求めます。

 

例題では、\(2x+1=t\) を式変形して \(x=\dfrac{t-1}{2}\) 

これを \(t\) で微分して \(dx/dt=\dfrac{1}{2}\) となります。

 

\(dx/dt\) が求まったら、分母を整理して \(dx=\dfrac{1}{2} dt\) の形にしておくのがオススメです。

 

Step③ 定積分なら積分区間 \(a→b\) も置きかえる

不定積分では、このステップは飛ばしてOKです。

 

定積分では、積分区間 \(a→b\) も置きかえていきます。

 

手順はカンタンで、\(t=2x+1\) の \(x\) に \(a,b\) を代入するだけ。

 

例題では積分区間が \(x:0→1\) なので、\(t:1→3\) に置きかわります。

 

 

Step④ \(x,dx\) を \(t,dt\) に変換する

さて、これで\(「x=\dfrac{t-1}{2}」\)\(「dx/dt=\dfrac{1}{2}」\)\(「t:1→3」\)という3つのパーツが集まりました。

 

ここからが置換積分の本番です。

 

今まで集まった3つのパーツを使って、\(x,dx\) を \(t,dt\) に変換していきましょう。

 

(1): \(x\) を \(\dfrac{t-1}{2}\) に(\(2x+1\) を \(t\) に)

(2): \(dx\) を \(\dfrac{1}{2}dt\) に

(3): 積分区間 \(x:0→1\) を \(t:1→3\) に

 

こうすることで \(t\) のカンタンな積分式になり、積分の公式を当てはめやすくなります。

 

Tooda Yuuto
3つの変換を忘れないように注意!

 

Step⑤ 積分の公式を使ったうえで、求められた答えの形にする

\(t\) のカンタンな積分式になったら、積分の公式を使って計算していきます。

 

まずは不定積分 $\displaystyle \int x(2x+1)^4 dx$ の場合。

 

 

\(t\) は自分で置いた値なので、答えとしては適切ではありません。

そのため、\(t=2x+1\) を代入して求められた形式である「\(x\) の式」に戻す必要があります。

 

 

つぎは定積分 $\displaystyle \int_0^1 x(2x+1)^4 dx$ の場合。

 

 

定積分は、積分範囲も変換されているので \(x\) に戻さずに直接答えを計算してOK

 

最後の行の計算では、分母が同じ値どうしを先に計算したほうが良いです。

 

まとめ

  • Step① \(=t\) に置きかえるものを決める
  • Step② \(x=g(t)\) の形に変換して \(t\) で微分。\(dx/dt\) を求める
  • Step③ 定積分なら積分区間 \(a→b\) も置きかえる
  • Step④ \(x,dx\) を \(t,dt\) に変換する
  • Step⑤ 積分の公式を使ったうえで、求められた答えの形にする

 

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉