積分の公式一覧【パッと見復習用】

 

よく使う積分の公式のまとめです。

 

積分の公式は、微分の公式をひっくり返して考えると覚えやすいです。

>>微分の公式一覧【パッと見復習用】

xのn乗の積分公式

$\displaystyle \int x^n dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ \((n≠-1)\)

$\displaystyle \int {\dfrac{1}{x}} dx=\log_e{|x|}+C$  \((n=-1)\)

【\(C\) は積分定数】

最も基本となる公式。

\(n=0,1,2\cdots\) だけでなく \(n=\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2\) も重要

 

三角関数の積分公式

$\displaystyle \int \sin{x}\ dx=-\cos{x}+C$

$\displaystyle \int \cos{x}\ dx=\sin{x}+C$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2{x}}\ dx=\tan{x}+C$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\sin^2{x}}\ dx=-\dfrac{1}{\tan{x}}+C$

タンジェントの積分にも公式があるが、重要度は低め

● $\displaystyle \int \tan{x}\ dx=-\log_e{|\cos{x}|}+C$

 

指数関数の積分公式

$\displaystyle \int e^xdx=e^x+C$

$\displaystyle \int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log_e{a}}+C$ \((a>0,a≠1)\)

\(e≒2.718\) はネイピア数

 

対数関数の積分公式

$\displaystyle \int \log_e{x}\ dx=x\log_e{x}-x+C$

\(\log_{e}{x}\) は自然対数。\(\log{x}\) と省略表記されることが多い>>対数の省略表記について

 

部分積分(不定積分・定積分)

$\displaystyle \int f(x)g'(x)dx$

$\displaystyle=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$

$\displaystyle \int_a^b f(x)g'(x)dx$

$\displaystyle=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx$

>>不定積分と定積分の違い

 

例:$\displaystyle \int x\sin{x} \ dx$ の場合。\(f(x)=x\)、\(g(x)=-\cos{x}\) を代入する

\(f'(x)=1\)、\(g'(x)=\sin{x}\) となる点に注目

 

ガウス積分

$\displaystyle \int_{-∞}^{∞} e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{π}{a}}$ \((a>0)\)

大学以降、物理学や統計学でよく使う公式

正規分布(ガウス分布)の確率密度関数の積分が代表的

 

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉