積分のやり方と基礎公式。不定積分と定積分の違いとは?

 

積分とは、「微分の反対」に相当する操作です。

 

たとえば、\(F(x)=3x^2\) を微分すると \(F'(x)=6x\) になりますよね。

これに対し、積分とは「微分したら \(F'(x)=6x\) になるような \(F(x)\) を求めること」に相当します。

 

「微分したら \(F'(x)=6x\) になる関数 \(F(x)\)」は、 \(3x^2\) 以外にもたくさんあります。

\(3x^2+4\) や \(3x^2-15\) なども、微分したら \(6x\) になりますよね。

 

\(3x^2+(定数)\) の形でさえあれば、定数の部分は \(2\) でも \(-1\) でもかまいません。

 

そこで積分では、これらをまとめて \(F(x)=3x^2+C\)(\(C\) は積分定数)と表記します。

 

今回は、そんな積分のやり方や「不定積分と定積分の違い」について解説していきます。

 

積分の記号。インテグラル

関数 \(f(x)\) を積分するときは、\(\int\)(インテグラル)という記号を使って $\displaystyle \int f(x) dx$ と表記します。

 

\(f(x)\) の左に \(\int\) 、右に \(dx\) をつけることで「関数 \(f(x)\) を \(x\) で積分する」という意味になります。

 

 

Tooda Yuuto
左に \(\int\) を書いたら必ず \(dx\) で閉じるクセをつけるのがポイント!

 

【豆知識】\(dx\) は「極めて小さな \(x\) の変化量」という意味。

もし \(dx\) を書かなかったら \(\int\) を使った式の答えは大抵 \(+∞\) か \(-∞\) になってしまう。 

 

不定積分と定積分の違い

積分には、不定積分と定積分があります。

 

 

これら2つは途中まで同じ計算を行いますが、計算のゴールが変わってきます。

 

不定積分は「微分したら \(f(x)\) になるような関数を求めること」がゴール

定積分は「関数 \(f(x)\) を \(a\) から \(b\) の範囲で積分し、値の差(面積)を求めること」がゴール

という違いがあります。

>>定積分と面積の関係

 

 

それぞれの意味と計算方法を見ていきましょう。

 

不定積分とは?

「微分したら \(f(x)\) になる関数 $\displaystyle F(x)=\int f(x) dx$ 」のことを、\(f(x)\) の不定積分と言います。

 

 

試しに、不定積分 $\displaystyle F(x)=\int 4x^3 dx$ を計算してみましょう。

 

$\displaystyle F(x)=\int 4x^3 dx$ は「微分したら \(4x^3\) になる関数」を意味します。

 

「微分したら \(4x^3\) になる関数」としては、\(x^4\) や \(x^4+2\) などがありますよね。

\(x^4+(定数)\) の形でさえあれば定数の部分は \(-3\) でも \(11\) でもかまいません。

 

これらはまとめて \(x^4+C\)(\(C\) は積分定数)と書けるので

「\(4x^3\) の不定積分は \(x^4+C\) (\(C\) は積分定数)」となります。

 

 

Tooda Yuuto
(\(C\) は積分定数)を書くのを忘れないように注意!

 

定積分とは?

不定積分 $\displaystyle F(x)=\int f(x) dx$ の \(x\) に定数 \(a,b\) を代入して求められた値の差、\(F(b)-F(a)\) を \(f(x)\) の定積分と言います。

 

不定積分が \(x^4+C\) のような関数であるのに対して

定積分は具体的な値として求まります。

 

試しに、定積分 $\displaystyle \int_1^2 4x^3 dx$ を計算してみましょう。

 

$\displaystyle \int_1^2 4x^3 dx$ は「不定積分 $\displaystyle F(x)=\int 4x^3 dx$ に \(x=1,2\) を代入して求められた値の差」を意味します。

 

 

不定積分 $\displaystyle F(x)=\int 4x^3 dx$ の答えは \(F(x)=x^4+C\) でした。

 

この \(F(x)\) に \(x=1,2\) を代入した値の差は \(F(2)-F(1)=2^4-1^4=15\) になります。

 

これを $\displaystyle \int_1^2 4x^3 dx=15$ と書いて

「\(4x^3\) を \(x=1\) から \(2\) の範囲で積分した答え(定積分)は \(15\) である」と言います。 

 

 

厳密には \(F(2)-F(1)=(2^4+C)-(1^4+C)\) と書いた方が正確なのですが

定積分は「値の差」を求めるので

\((2^4+C)-(1^4+C)=2^4-1^4\)

となって積分定数 \(C\) が相殺されるため、定積分するときは積分定数 \(C\) は書かなくてOKです。

 

 

積分の代表的な公式

ここでは、積分の代表的な公式を紹介します。

 

 

\(\sin{x}\) や \(e^x\) などの積分公式については「積分の公式一覧」の記事で紹介しています。

 

 

Tooda Yuuto
具体例から考えると分かりやすいです。

 

まとめ

  • 積分とは、「微分の反対」に相当する操作
  • \(f(x)\) の左に \(\int\) 、右に \(dx\) をつけることで「関数 \(f(x)\) を \(x\) で積分する」という意味になる
  • 左に \(\int\) を書いたら必ず \(dx\) で閉じる
  • 「微分したら \(f(x)\) になる関数 \(F(x)=\int f(x) dx\) 」のことを、\(f(x)\) の不定積分と言う
  • 不定積分 \(F(x)\) の \(x\) に定数 \(a,b\) を代入した値の差、\(F(b)-F(a)\) を \(f(x)\) の定積分と言う
  • 不定積分は「関数」で、定積分は「値の差(面積)」
  • 不定積分は(\(C\) は積分定数)を書く必要があるが、定積分では積分定数 \(C\) は書かなくてOK

 

 

次のページでは、「定積分の答えは具体的に何を意味しているのか?」を見ていきましょう。

 

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