部分積分の解き方とコツ。どっちを微分するか判断するポイントとは?

 

関数 \(f(x),g(x)\) とそれらを微分した \(f'(x),g'(x)\) に対して成立する以下の公式を、部分積分と言います。

 

(英語では Integration by parts)

 

例えば $\displaystyle \int x \sin{x}\ dx$ を計算してみましょう。

 

この場合

「\(f(x)=x\) を微分したら \(f'(x)=1\) になる」

「\(g'(x)=\sin{x}\) を積分したら \(g(x)=-\cos{x}\) になる」

を当てはめると、以下のように部分積分できます。

 

 

今回は、部分積分のやり方とそのコツについて書いていきます。

 

部分積分の考え方。どっちを微分すれば良いのか?

部分積分は

① 積分したい関数が「2つの関数のかけ算 \(f(x)g'(x)\) 」である

② 2つの関数の一方 \(f(x)\) を微分した \(f'(x)\) がカンタンな関数である( \(f'(x)=1\) など)

という2つの条件を満たすときに有効なテクニックです。

 

2つの関数の一方をカンタンな関数に変換することで、積分の計算をしやすくするのが部分積分のねらいです。

 

 

部分積分をするときは

微分したら元よりカンタンな関数になる方を \(f(x)\) 

積分してもあまり複雑な関数にならない方を \(g'(x)\) 

と置くのがコツです。

 

実際に、いくつか例題を解いてみましょう。

 

部分積分問題

①xと指数関数

問①.$\displaystyle \int xe^x\ dx$ を求めて下さい。

2つの関数 \(x\) と \(e^x\) のかけ算なので、部分積分を使います。

 

微分したら元よりカンタンになるのは \((x)’=1\) なので、\(f(x)=x\)

積分してもあまり複雑にならないのは \(\int e^x dx=e^x\) なので、\(g'(x)=e^x\)

 

これを部分積分の公式に当てはめると、以下のように求まります。

 

②xと三角関数

問②.$\displaystyle \int x\cos{2x}\ dx$ を求めて下さい。

微分したら元よりカンタンになるのは \((x)’=1\) なので、\(f(x)=x\)

積分してもあまり複雑にならないのは \(\int \cos{2x}\ dx=\dfrac{\sin{2x}}{2}\) なので、\(g'(x)=\cos{2x}\)

 

これを部分積分の公式に当てはめると、以下のように求まります。

 

 

③対数関数

問③.$\displaystyle \int \log_e{x}\ dx$ を求めて下さい。

積分の公式を暗記しておけば解けますが、自信がないときは部分積分を使うと確実です。

 

ここでは、\(\log_e{x}=1×\log_e{x}\) と考えるのがコツ。

 

微分したら元よりカンタンになるのは \((\log_e{x})’=\dfrac{1}{x}\) なので、\(f(x)=\log_e{x}\)

積分してもあまり複雑にならないのは \(\int 1\ dx=x\) なので、\(g'(x)=1\)

 

これを部分積分の公式に当てはめると、以下のように求まります。

 

 

積分に回す優先順位

2つの関数のどちらを積分する関数 \(g'(x)\) とおくべきか迷うという場合は、以下の優先順位で考えると分かりやすいです。

 

 

この表の優先順位を見ると

問①.$\displaystyle \int xe^x\ dx$ は \(e^x\) を積分

問②.$\displaystyle \int x\cos{2x}\ dx$ は \(\cos{2x}\) を積分

問③.$\displaystyle \int \log_e{x}\ dx$ は \(1=x^0\) を積分。つまり \(\log_e{x}\) を微分

で部分積分できることが分かります。

 

次のページでは部分積分の証明と「部分積分をくり返すパターン」の問題を見ていきましょう。

 

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉