相似とは何か。その意味・合同との違い・相似な図形が持つ性質について

 

「同じ形のまま拡大・縮小した図形である」ことを、相似と言います。

 

たとえば、下図の三角形 \(DEF\) は「三角形 \(ABC\) の形を変えることなく \(\dfrac{1}{2}\) 倍に縮小した図形」です。

 

このように、大きさは違っても形がまったく同じ図形であるとき

「三角形 \(ABC\) と三角形 \(DEF\) は相似である」と言って

記号では「\(△ABC\) ∽ \(△DEF\) 」と書きます。

 

相似と合同とその書き方

相似は、2つの図形の形がまったく同じであれば

何倍に拡大・縮小されていても相似ですし

回転・反転していても相似となります。

 

また、「相似」かつ「大きさも同じ(1倍)」のとき「2つの図形は合同である」と言います。

 

相似について記述するときは、対応している点の順番で書くのがポイントです。

 

たとえば、下図の三角形 \(DEF\) は「三角形 \(ABC\) の形を変えることなく \(\dfrac{2}{3}\) 倍に縮小して、左右反転させた図形」なので、「2つの三角形は相似である」と言えます。

 

 

このとき、「点 \(A\) と点 \(D\) 」「点 \(C\) と点 \(E\) 」「点 \(B\) と点 \(F\) 」が対応していることを示すために

「\(△ACB\) ∽ \(△DEF\) 」

のように対応している点の順番で記述します。

 

対応している点どうしが同じ順番になってさえいればいいので

「 \(△ABC\) ∽ \(△DFE\) 」 や 「\(△CAB\) ∽ \(△EDF\)」

と書くこともできます。

 

Tooda Yuuto
「どの点とどの点が対応しているのか?」を考えるときは、「回転・反転、拡大・縮小させたときにピッタリ重なる点」を考えると分かりやすいです。

 

 

相似な図形が持つ性質

相似な図形には

 対応する線分の「長さの比」が、すべて等しい

 対応する角の大きさが、それぞれ等しい

という2つの重要な性質があります。

 

対応する線分の「長さの比」が、すべて等しい

相似な図形は「同じ形のまま拡大・縮小した図形」なので、対応する線分の長さの比はすべて同じになります。

 

【例題】下図の2つの図形が相似であるとき、\(a\) , \(b\) はそれぞれ何cm?

 

この問題の場合、右の図形は「左の図形の形を変えることなく \(\dfrac{4}{5}\) 倍に縮小した図形」になっています。

 

そのため、\(a,b\) はそれぞれ対応する線分 \(16\) cm, \(12\) cm の\(\dfrac{4}{5}\) 倍となります。

 

 

\(a=15×\dfrac{4}{5}=12\) cm

\(b=12×\dfrac{4}{5}=9.6\) cm

と求まります。

 

この「対応する線分の長さの比」のことを、相似比と言います。

 

対応する角の大きさが、それぞれ等しい

相似な図形は「同じ形のまま拡大・縮小した図形」なので、対応する角の大きさもそれぞれ等しくなります。

 

 

上図を見ると、相似な図形の3つの角の大きさはそれぞれ \(30°\)、\(45°\)、\(105°\) のままで変わっていないことが分かります。

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉