【恒等式とは何か?】恒等式を使った問題の解き方について

 

「=(等号・イコール)」で結ばれた等式は、大きく分けて2種類あります。

 

1つは方程式。もう1つは恒等式です。

 

方程式とは変数 \(x\) が特定の値のときにだけ成立する等式のこと

恒等式とは変数 \(x\) がどんな値のときでも成立する等式のことを言います。

 

 

たとえば、 \(2x-4=0\) や \(x^2-7x+12=0\) などは方程式です。

これらは、変数が特定の値のときにだけ成立する等式だからです。

\(2x-4=0\) は \(x=2\) のときだけ等号が成立し、\(x=0\) や \(x=1\) などでは成立しない。

\(x^2-7x+12=0\) は \(x=3,4\) のときだけ等号が成立し、\(x=5\) などでは成立しない。

 

一方、\((x+1)^2=x^2+2x+1\) や \((x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2\) などは恒等式です。

これらは、変数がどんな値のときでも成立する等式だからです。

\((x+1)^2=x^2+2x+1\) は \(x\) がどんな値であっても成立する。

\((x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2\) は \(x,y\) がどんな組み合わせでも成立する。

 

今回は、恒等式を使った問題の解き方について解説していきます。

 


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恒等式の性質とその証明

恒等式では定数 \(a,b,c,A,B,C\) に対して、以下のことが成り立ちます。

 

恒等式では、左辺と右辺で「\(x\) の次数 \((x^2,x,1)\) が同じ係数は等しい」という性質です。

 

例えば

\(ax^2+bx+c=0\) が \(x\) について恒等式なら \(a=0,b=0,c=0\) が成り立ち

\(ax^2+bx+c=x^2+3\) が \(x\) について恒等式なら \(a=1,b=0,c=3\) が成り立つ

といった具合ですね。

 

【証明】

\(ax^2+bx+c=Ax^2+Bx+C\) が \(x\) について恒等式であるなら

\(x=0,1,-1\) でも等号は成り立つことを意味する。

 

そこで \(x=0,1,-1\) を代入すると

\(x=0\) のとき \(c=C\) ・・・①

\(x=1\) のとき \(a+b+c=A+B+C\) ・・・②

\(x=-1\) のとき \(a-b+c=A-B+C\) ・・・③

 

①,②より \(a+b=A+B\) ・・・④

①,③より \(a-b=A-B\) ・・・⑤

④,⑤より \(a=A,b=B\)

よって、\(a=A,b=B,c=C\) が成り立つ。

 

恒等式を使った問題の解き方

さっそく、恒等式の性質を利用した問題を見ていきましょう。

 

このような問題には解き方が大きく分けて2つあります。

1つは係数比較法、もう1つは数値代入法です。

 

係数比較法

係数比較法とは、さきほど紹介した恒等式の性質「\(x\) の次数が同じ係数は等しい(\(a=A\),\(b=B\),\(c=C\)」を利用して、左辺と右辺の「\(x\) の次数が同じ係数どうし」を比較する手法です。

 

 

(1),(2),(3)の3つの連立方程式をうまく組み合わせて、\(a,b,c\) を求めます。

 

数値代入法

数値代入法とは、恒等式の性質「\(x\) にどんな数値を代入しても等号が成り立つ」を利用して、\(x\) に計算がカンタンになりそうな数値を代入する手法です。

 

数値代入法は、計算がカンタンになるというメリットがある一方で、十分性の確認を行う必要があるというデメリットがあります。

 

 

数値代入法から \(a=2,b=4,c=1\) を求めた時点では「\(x=0,-1,2\) のときに恒等式が成り立つ条件(必要条件)」を示せただけで、「すべての \(x\) について等号が成り立つこと」は示せていません。

そのため「\(a=2,b=4,c=1\) であれば \(x\) がどんな値でも等号がなりたつこと(十分条件)」を示す必要があるんです。

 

 

「元の数式に \(a=2,b=4,c=1\) を代入したら左辺と右辺が一致する」ことを示すことにより、十分性の確認をします。

 

Tooda Yuuto
係数比較法なら、十分性の確認は必要ありません。そのため普段は係数比較法で解いて、計算が難しい問題のときに数値代入法を使うのがオススメです。

 

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉