円の面積の求め方と覚えるコツ。なぜ半径×半径×3.14になるか

 

円の面積は、「半径 × 半径 × 3.14」(正確には半径 × 半径 × 円周率π)という公式で求める事ができます。

 

例題①半径2cmの円の面積を求めてください。

答え:2 × 2 × 3.14=12.56(cm2

正確には 2 × 2 × π=4π

例題②半径5cmの円の面積を求めてください。

答え:5 × 5 × 3.14=78.5(cm2)

正確には 5 × 5 × π=25π

※円周率 π については「円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について」の記事でくわしく解説しています。

 

ただ、この公式。「半径 × 半径 × 3.14」が何をどう計算しているのか具体的にイメージしにくいですよね。

 

「なんでこの公式で円の面積が求まるんだろう?」と不思議に感じる方も多いのではないでしょうか。

 

そこで今回は「なぜ円の面積が半径×半径×3.14になるのか」について書いていきます。

photo credit: Travis Wise


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円の面積の求め方を図でイメージしてみよう

まず、半径2cmの円を10等分してみましょう。

 

10circle

すると、10個の扇形ができますよね。

 

この10個の扇形を交互に並べていくと…

circle2

下図のような『平行四辺形に近い図形』が出来上がります。

ap-rectangle

この図形の高さは「半径と同じ2cm」。

 

横の長さは「円周の半分=(直径×3.14)÷2=半径×3.14=6.28cm」に近い値となります。

 

10等分ではまだ上下がデコボコしていますが、円を等分すればするほど平行四辺形に近い形になり、最終的には「高さ=半径」「横の長さ=円周の半分=半径×3.14」の平行四辺形になります。

circle-area

そのため、平行四辺形の面積の公式『高さ』×『横の長さ』より、
円の面積=『半径』×『半径×3.14』になるんです。

 

こう考えると、なぜ円の面積が「半径×半径×3.14」になるのかイメージ出来て、覚えやすくなったのではないでしょうか。

積分による証明問題

以上の考え方は、「円を無限に細かく分割できること」を前提とした考え方のため、直感的にはイメージできても正確な計算にはなっていません。

 

円の面積は、正確には『積分』というテクニックを使うことで以下のように求められます。

circle-sekibun

 

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉