円の面積の求め方と覚えるコツ。なぜ半径×半径×3.14になるか

 

円の面積は、「半径 × 半径 × 3.14」(正確には半径 × 半径 × 円周率π)という公式で求めることができます。

 

例題①半径 \(2\) cmの円の面積を求めて下さい。

答え: \(2 × 2 × 3.14=12.56\)(cm2

正確には \(2 × 2 × π=4π\)

例題②半径 \(5\) cmの円の面積を求めて下さい。

答え: \(5 × 5 × 3.14=78.5\) (cm2)

正確には \(5 × 5 × π=25π\)

※円周率 \(π\) については「円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について」の記事でくわしく解説しています。

 

ただ、この公式。「半径 × 半径 × 3.14」が何をどう計算しているのか具体的にイメージしにくいという問題点があります。

 

「なんでこの公式で円の面積が求まるんだろう?」と感じる方も多いのではないでしょうか。

 

そこで今回は「なぜ円の面積が半径×半径×3.14になるのか」を見ていきましょう。

 

photo credit: Travis Wise


スポンサーリンク

 

円の面積の求め方を図でイメージしてみよう

まず、半径2cmの円を10等分します。

 

10circle

 

すると、扇の形をした図形が10個できますよね。

 

この10個の扇形を交互に並べていくと…

circle2

 

下図のような『平行四辺形に近い図形』が出来上がります。

 

ap-rectangle

 

この図形の高さは「半径と同じ2cm」。

 

横の長さは、およそ「円周の半分=(直径×3.14)÷2=半径×3.14=6.28cm」に近い値となります。

 

10等分ではまだ上下がデコボコしていますが、円を等分すればするほど平行四辺形に近い形になり、最終的には「高さ=半径」「横の長さ=円周の半分=半径×3.14」の平行四辺形となります。

 

circle-area

 

あとは、平行四辺形の面積の公式『高さ』×『横の長さ』を使うと…

 

円の面積=『高さ』×『横の長さ』=『半径』×『半径×3.14』

 

みごと、円の面積の公式「半径×半径×3.14」を導き出すことができました。

 

Tooda Yuuto
こう考えると、円の面積が「半径×半径×3.14」になるのをイメージできて、覚えやすくなりますよ。

 

積分による証明問題

以上の考え方は、「円を無限に細かく分割できること」を前提とした考え方のため、直感的にはイメージできても正確な計算にはなっていません。

 

円の面積は、正確には『積分』というテクニックを使うことで以下のように求められます。

 

circle-sekibun

 

積分については、以下の記事で解説しています。

積分とは何なのか?面積と積分計算の意味

2018.03.17

 

スポンサーリンク

ツイッターやブログ等でシェアしていただけると、非常に励みになります。

数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉