二次方程式の解の公式。導き方・証明法を分かりやすく解説

 

できるだけ少ない資材で、可能な限り大きな容積の建物を作りたい場合

斜めに打ちあげたボールの最高点の位置と落下地点を予測したい場合

など、さまざまな場面で登場する二次方程式の計算問題

 

二次方程式を解くときは、『因数分解』をするか『二次方程式の解の公式』を使います。

 

どちらを使うか判断するコツとしては、\(x\) に \(-3\) から \(+3\) までを代入したときに等号が成立したら『因数分解』、成立しなさそうなら『2次方程式の解の公式』を使うのがオススメです。

 

 

今回は、この解の公式の導出・証明方法を解説していきます。

 

解の公式の導出(証明方法)

\(「ax^2+bx+c=0 (a≠0)」\) の解の公式の導き方は、大きく分けて7つのステップで構成されています。

 

 

7つのステップすべてをいきなり説明されるとややこしく感じるかもしれませんが、1つずつ見ていけば意外と簡単なことに気がつくはず。1つずつ焦らずに理解していきましょう!

 

Step①両辺をaで割る

 

まず、計算をシンプルにするために、両辺を \(a\) で割ります。

数学には 0で割ってはいけないルールがあるので、\((a≠0)\) をキチンと明記したうえで両辺を \(a\) で割るようにしましょう。

 

\(0÷a=0\) なので、右辺は \(0\) のままです。

 

Step②平方完成のための値を足して引く

 

次に、両辺に \(\dfrac{b^2}{4a^2}\) を足して \(\dfrac{b^2}{4a^2}\) を引きます。

\(\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}=0\) なので、右辺は \(0\) のままです。

 

「同じ数を足して引く」のは、意味のない計算のように見えるかもしれませんが、この『おまじない』が次のステップで活きてきます。

 

この『おまじない』は、「 \(x\) の項(今回は \(b/a\) )の半分の2乗」と覚えておくと便利です。

half-2jou

 

Step③平方完成する

 

つぎに、上図の下線部に注目してください。

この下線部は、\(A=\dfrac{b}{2a}\) と置くと \(x^2+2Ax+A^2=(x+A)^2\) の形で表せることに気がつくはず。

 

これを利用して、下線部を \(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\) という形に変形します。

このように、式を \((x+A)^2\) の形に変形することを平方完成と言います。

 

Step④,⑤残りを右辺に移項して、通分する

 

平方完成できたら、\((x+A)^2\) 以外の項を右辺に移項して、通分します。

 

下線部に注目しながら、「プラスとマイナスを反転させる」ことを忘れずに移項しましょう。

 

Step⑥,⑦平方根をとって、b/2a を右辺に移項

 

\((x+A)^2\) 以外の項を右辺に移項したら、式全体が \((x+A)^2=C\) という形になります。

 

そこで、\(「(x+A)^2=C ⇔ x+A=±\sqrt{C}」\)の公式を使って、両辺の平方根を取ります。

 

この時、右辺に「 \(±\) (プラスマイナス)」を付けるのを忘れずに

 

最後に両辺から \(\dfrac{b}{2a}\) を引けば、みごと『解の公式』の完成です!

 

【全体のおさらい】

 

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