2次方程式の解き方。解の公式の導き方・証明法を簡単に分かりやすく解説

4654488852_695c2cb836_z

「できるだけ少ない資材で、可能な限り大きな容積の建物を作りたい場合」

「斜めに打ちあげたボールの最高点の位置と落下地点を予測したい場合」

など、さまざまな場面で登場する『2次方程式の計算問題』

 

2次方程式を解くときは、『因数分解』をするか『2次方程式の解の公式』を使います。

 

どちらを使うべきか判断するコツとしては、x に-3~+3を代入したときに等号が成立したら『因数分解』、成立しなさそうなら『2次方程式の解の公式』を使うのがオススメです。

 

2ji-houteisiki-tokikata

 

今回は、この解の公式の導出・証明方法を解説していきます。

photo credit:Titoy’ 

解の公式の導出(証明方法)

「ax2+bx+c=0 (a≠0)」の解の公式の導き方は、大きく分けて8つのステップで構成されています。

kainokousiki1
8つのステップすべてをいきなり説明されるとややこしく感じるかもしれませんが、1つずつ見ていけば意外と簡単なことに気がつくはず。1つずつ焦らずに理解していきましょう!

step①両辺をaで割る

step1

まず、計算をシンプルにするために、両辺をaで割ります。

数学には0で割ってはいけないルールがあるので、(a≠0)をキチンと明記したうえで両辺をaで割るようにしましょう。

 

0÷a=0なので、右辺は0のままです。

step②平方完成のためのおまじないを足して引く

step2

次に、両辺にb2/4a2を足して、b2/4a2を引きます。

b2/4a2-b2/4a2=0なので、右辺は0のままです。

 

「同じ数を足して引く」のは、一見すると意味のない計算のように見えるかもしれませんが、この『おまじない』が次のステップで活きてきます。

 

この『おまじない』は、「xの項(今回はb/a)の半分の2乗」と覚えておくと便利ですよ。

half-2jou

step③,④平方完成する

step3

つぎに、上図の下線部に注目してください。

この下線部は、A=b/2aと置くとx2+2Ax+A2=(x+A)2の形で表せることに気がつくはず。

 

これを利用して、下線部を(x+b/2a)2という形に変形します。

このように、式を(x+A)2の形に変形することを平方完成と言います。

step⑤,⑥残りを右辺に移項して、通分する

step5

平方完成が済んだら、(x+A)2以外の項を右辺に移項して、通分します。

 

下線部に注目しながら、「プラスとマイナスを反転させる」ことを忘れずに移項しましょう。

step⑦,⑧平方根をとって、b/2a を右辺に移項

step7

(x+A)2以外の項を右辺に移項したら、式全体が (x+A)2=C という形になります。

 

そこで、「(x+A)2=C ⇔ x+A=±√C」の公式を使って、両辺の平方根を取ります。

 

この時、右辺に「±(プラスマイナス)」を付けるのを忘れないように。

 

最後に両辺からb/2aを引けば、みごと『解の公式』の完成です!

 

<全体のおさらい>

kainokousiki2

SPONSORED LINK

 

ツイッターやブログ等でシェアしていただけると、非常に励みになります。

Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。