ゼロで割ってはいけない理由を割り算の定義から考えるとこうなる

「3×0=0」「(125+69)×0=0」「15984×28347×0=0」

 

どんな数にかけても、0になってしまう。ゼロ。

無いことを表す「0」という値には、不可解かつ神秘的な魅力を感じさせられます。

 

この「0の不可解さ」をよく表しているのが、「0で割ってはいけない」というルール。

 

「なんで0で割ってはいけないの?」と先生に聞いても「そういうものだから」と言いくるめられ、モヤモヤした経験のある方も多いはずです。

 

そこで今回は、「なぜ0で割ってはいけないのか?」を割り算の定義から考えていきます。

割り算の定義から考える

皆さんは、割り算の定義=「そもそも割り算とは何か?」と聞かれたら、どう答えますか?

 

「12個のりんごを4人で分けた時の、1人当たりのりんごの数?」

いいえ、それは割り算の使い方であって定義ではないんです。

By: kara

割り算は、代数的には以下のように考えることができます。今回はこれを利用しましょう。

実数などにおける定義から離れると、除法は乗法を持つ代数的構造について「乗法の逆元を掛けること」として一般化することができる。
参考:除法 – Wikipedia

 

これをかみ砕いて説明すると、以下のようになります。

 

そう、つまり割り算とは逆数をかけることなんです。

(B×b=1のとき、bをBの逆数と言います)

 

ここから、0で割ってはいけない理由が見えてきます。

 

0で割るとはどういうことか?

「割り算」が「逆数をかける」ということは、
「0で割る」とは「0の逆数をかける」ということを意味します。

 

でも、0の逆数って何でしょう?

2の逆数は1/2。7の逆数は1/7。ということは、0の逆数は1/0?

 

そんな数、聞いたことがありませんよね。

 

 

事実、0に逆数は存在しません。0に何をかけても1にはなりませんから。

 

そして、存在しないものは定義しようがありません。

 

「0の逆数をかける」という行為自体が存在しないので、「0で割る」ことも定義できない。

 

だから、「0で割ってはいけない」んです。

matome

 

1=2の証明。存在してはいけない数

0には逆数が存在しないから、0で割ってはいけない。

なら、「0には逆数がある」と無理やり定義してやればどうでしょう?

 

1/0という数の存在を認めれば、0で割ることもできるようになります。

 

 

が、しかし・・・

 

 

1/0という数の存在を認めたら、1=2というとんでもない等式が成立してしまいました。

 

Tooda Yuuto
1/0は、存在してはいけない数なんですね。

 

まとめ

①割り算とは「逆数をかけること」である

②つまり「0で割る」とは「0の逆数をかける」ことを意味する

③しかし、0には逆数がないので「0の逆数をかける」という行為自体が存在せず、0で割ることを定義できない。だから0で割ってはいけない

④裏を返せば、0に逆数が存在すると無理やり仮定すれば、0で割ることが可能になる。しかし、0に逆数が存在すると困ったことになる

 

0で割ってはいけない理由は、「0で割ることが定義されていないから」

そして、0で割ることを無理やり定義しようとすると 1=2 となり計算が役に立たなくなるので、「0で割ることを定義しない」状態が維持されているんです。

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。