方べきの定理とは?3つのパターンの図解とその証明方法

 

1つの円に2本の直線を引いたときに作られる「4つの線分の長さ」の間に、以下の等式が成り立つことを方べきの定理といいます。

 

 

方べきの定理は、実生活では等式そのものよりも「円と直線の交点 \(A,B,C,D,P,X\) によって作られる2組の三角形がそれぞれ相似である」ということが重要な定理です。

 

「どの三角形とどの三角形が相似なのか?」「なぜ相似になるのか?」に注目しつつ、方べきの定理の証明を見ていきましょう。

 


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方べきの定理その1

下図のように、円と2本の直線 \(AC,BD\) がある。

2本の直線の交点を \(P\) とすると

\(PA×PC=PB×PD\) 

が成り立つ。

 

【証明】

まず円周角の定理より、同じ弧に対する円周角の大きさはそれぞれ等しくなります。

\(∠BAC\) と \(∠BDC\) はどちらも「弧 \(BC\) に対する円周角」なので \(∠BAC=∠BDC\)

\(∠ABD\) と \(∠ACD\) はどちらも「弧 \(AD\) に対する円周角」なので \(∠ABD=∠ACD\)

 

 

よって、三角形の相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」を満たすことから

\(△PAB\) と \(△PDC\) は相似であることが分かります。

 

ここで、「相似な三角形の対応する辺の比は一定」という性質から

\(PA:PB=PD:PC\)

が成り立つので

\(PA×PC=PB×PD\)

が成り立つことが分かります。

 

 

方べきの定理その2

下図のように、円と2本の直線 \(AD,BC\) がある。

2本の直線の交点を \(X\) とすると

\(XA×XD=XB×XC\) 

が成り立つ。

 

【証明】

四角形 \(ABCD\) の内角をそれぞれ \(∠A,∠B,∠C,∠D\) とおくと

円に内接する四角形の対角の和は180°なので

\(∠A+∠C=180°\)、\(∠B+∠D=180°\) となります。

 

ここで「\(∠DCX\) は \(∠C\) の外角」「\(∠CDX\) は \(∠D\) の外角」なので

「内角と外角の和は180°」から

\(∠A=∠DCX(図の青い角)\)

\(∠B=∠CDX(図のオレンジの角)\)

となります。

 

 

よって、三角形の相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」を満たすことから

\(△XAB\) と \(△XCD\) は相似であることが分かります。

 

ここで、「相似な三角形の対応する辺の比は一定」という性質から

\(XA:XB=XC:XD\)

が成り立つので

\(XA×XD=XB×XC\)

が成り立つことが分かります。

 

方べきの定理その3

方べきの定理は、もう1パターンあります。

下図のように、円とその外側の点 \(X\) がある。

\(X\) から引いた円の接線の接点を \(C\) とし

\(X\) から円に引いた直線の2つの交点を \(A,B\) とすると

\(XA×XB={XC}^2\) 

が成り立つ。

 

【証明】

接弦定理より「弦 \(BC\) に対する円周角」と「弦 \(BC\) と接線 \(XC\) がつくる角」は等しいので

\(∠A=∠BCX\) が成り立ちます。

また、\(∠AXC=∠CXB\) (共通する角)も成り立ちます。

 

 

よって、三角形の相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」を満たすことから

\(△XAC\) と \(△XCB\) は相似であることが分かります。

 

ここで、「相似な三角形の対応する辺の比は一定」という性質から

\(XA:XC=XC:XB\)

が成り立つので

\(XA×XB=XC×XC={XC}^2\)

が成り立つことが分かります。

 

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