円に外接する四角形の性質まとめ【向かい合った辺の合計が等しくなる理由】

 

四角形 \(ABCD\) の\(4\)つの辺がすべて同じ円に外側から接しているとき、「四角形 \(ABCD\) は円に外接する」といいます。

反対に、四角形の\(4\)つの頂点がすべて同じ円に内側から接しているとき、「その四角形は円に内接する」といいます。

>>関連記事:円に内接する四角形の性質まとめ

 

このページでは、「円に外接する四角形がもつ性質」をみていきましょう。

 

①1つの頂点から円に向かって引いた2本の接線の長さは等しい

円に外接する四角形 \(ABCD\) について、点 \(A\) から円に向かって引いた接線の接点を \(P,Q\) とすると、\(AP=AQ\) が成り立つ。

【証明】

点 \(P,Q\) は円の接点なので、\(∠APO=∠AQO=90°\) 

よって三角形 \(APO,AQO\) は直角三角形であることから、三平方の定理が成り立ちます。

 

円の半径 \(OP=OQ=r\) とすると、三平方の定理の式は

\(AO^2=AP^2+OP^2=AP^2+r^2\)

\(AO^2=AQ^2+OQ^2=AQ^2+r^2\)

で表されます。

 

よって、\(AP^2=AO^2-r^2=(AQ^2+r^2)-r^2=AQ^2\) となり

\(AP=AQ\) であることが分かります。

 

②2組の「向かい合った辺の合計」は等しい

円に外接する四角形 \(ABCD\) について、\(AB+CD=BC+AD\) が成り立つ。

【証明】

先述の「①1つの頂点から円に向かって引いた2本の接線の長さは等しい」から

\(AP=AQ=○\)

\(BQ=BR=×\)

\(CR=CS=\triangle\)

\(DS=DP=□\)

とおくと

 

\(AB+CD=AQ+BQ+CS+DS\)

\(=○+×+\triangle+□\)

\(BC+AD=BR+CR+DP+AP\)

\(=○+×+\triangle+□\)

 

となり、\(AB+CD=BC+AD\) を示せました。

 

③円に外接する四角形の面積の公式

円に外接する四角形 \(ABCD\) の\(4\)辺を \(a,b,c,d\) 、\(∠BAD=θ_1,∠BCD=θ_2\) とおくと

この四角形の面積は \(S=\sqrt{abcd}\sin{\dfrac{θ_1+θ_2}{2}}\) で表される。

 

\(\sin{θ}=\sin{180°-θ}\) なので、対角の和であればどちらの対角を使っても構いません。

\(S=\sqrt{abcd}\sin{\dfrac{∠ABC+∠ADC}{2}}\) からも同じ答えが求められます。

 

スポンサーリンク

ツイッターやブログ等でシェアしていただけると、非常に励みになります。

数字とにらめっこする日々を送る社会人。
このサイトでは,「1人でも多くの人が数学・統計学をアタリマエに使いこなせる」ように分かりやすく解説・情報発信していきます。

詳細プロフィールはこちら