対数とは何なのかとその公式・メリットについて。対数をとるとはどういう意味か?

 

「2」を3回かけ算すると、2×2×2=8になりますよね。

これを「2を3乗したら8になる」と言い、以下のように書きます。

このとき、「2」の右上に乗っている「3」のことを「指数」と言います。
指数は「1つの数を何回かけるか」を表しています。

 

一方、「○を何乗すれば△になるか」を表す数のことを「対数」と言います。

例えば「2を何乗すれば8になるか」を表す数は以下のように表記され、これを「2を底とする8の対数」と言います。

「2を底をする8の対数」は3

「3を底とする 81 の対数」は4

「5を底とする 1/25 の対数」は-2

という具合ですね。

 

今回は、そんな対数とその有用性について書いていきます。

photo credit:Eric Vanderpool

指数・対数・底・真数

さきほどの指数と対数の意味を聞いて、「あれ?指数と対数って似てるというか、実質的に同じじゃない?」と少し困惑した人もいるかもしれません。

 

そう、実は「指数」と「対数」は同じ数のことを指しているんです。

ただ、その視点・使い方が異なるため、同じ数に対して違う名前がついています。

 

 

まず \(a^x=b\) のとき、\(x\) のことを指数と言います。

指数は、主に「\(a\) を \(x\) 乗したらいくつになるか?」を考えるときに使います。

 

これに対し \(x=\log_ab\) のとき、\(x\) のことを対数と言います。

対数は、主に「\(a\) を何乗したら \(b\) になるか?」を考えるときに使います。

\(a^x\) の形のときは、 \(a\) の右上に乗っている \(x\) のことを「指数」

\(\log_ab\) の形のときは、\(x=\log_ab\) ことを「\(a\) を底とする \(b\) の対数」と呼ぶ

とおさえておきましょう。

 

ちなみに、\(\log_ab\) という形における \(a\) のことを、\(b\) のことを真数と言います。

 

定義:\(a>0,a\neq1\)のとき、\(b>0\) に対して \(a^x=b\) を満たす \(x\) がただ1つ定まる。この \(x\) を「\(a\) を底とする \(b\) の対数」と言い、\(\log_ab\) と書く

対数の公式。真数のかけ算が対数の足し算に

対数には、計算でよく使う公式がいくつかあります。

ここでは、その中でも特によく使う3つを紹介します。

 

「真数のかけ算」が「対数の足し算」

「真数の割り算」が「対数の引き算」

「真数の累乗」が「対数のかけ算」

になっているのが分かりますね。

※累乗:\(M^k\)のこと。べき乗とも

 

具体例と見比べると、理解・暗記しやすいはず。

 

対数をとるとはどういう意味?

様々なデータを測って分析をする際、「対数をとる」と非常に便利なことが多いです。

 

「対数をとる」とは、\(M^k=N\ (>0)\) が成り立つときには \(\log_aM^k=\log_aN\) も成り立つことを利用して、式の形を \(\log_aM^k=\log_aN\) に変形することを言います。

 

たとえば、\(2^5=32\)  ⇒  \(\log_{10}2^5=\log_{10}32\) といった感じですね

 

底 \(a\) は「\(a>0,a\neq1\)」なら何でもいいのですが

①10進数で計算する時に便利な \(10\)

②微分するときに便利なネイピア数 \(e=2.718\cdots\) 

のどちらかで対数をとるのが基本です。

 

\(10\) を底とする対数は常用対数。\(e\) を底とする対数は自然対数といいます。

 

(ネイピア数 \(e=2.718\cdots\) については下記記事を参考に)

自然対数の底(ネイピア数) e の定義と覚え方。金利とクジの当選確率から分かるその使い道

2016.09.15

対数をとるメリット

では、対数をとるとどんなメリットがあるのか?

 

その答えの1つは「かけ算を足し算に、累乗をかけ算に落としこみ、計算を簡単にできる」ことにあります。

 

たとえば、皆さんは「\(2^{100}\) は何桁の数で、上 \(3\) 桁の数字はいくつか?」という問題が出たら、どうやって答えを求めるでしょうか?

 

電卓を使おうにも、数が膨大過ぎて電卓の桁数では全く足りませんよね。

 

一方、\(Z=2^{100}\) とおいて対数をとると、以下のようにカンタンなかけ算によって、\(Z≒10^{30.103}\) で表せることが分かります。

 

\(10^1\leq y<10^2\) は \(2\) 桁の数

\(10^2\leq y<10^3\) は \(3\) 桁の数

\(10^n\leq y<10^{n+1}\) は \(n+1\) 桁の数

つまり、\(10^{30}\leq Z<10^{31}\) は \(31\) 桁の数であることから

\(2^{100}≒10^{30.103}\) は \(31\) 桁の数であると求められます。

 

あとは、常用対数表から \(1.26\leq10^{0.103}<1.27\cdots\) であることを読み取れば、
\(2^{100}\) の上 \(3\) 桁の数字が\(126\)であることも分かります。

「\(2^{100}\) は \(31\) 桁の数であり、上 \(3\) 桁の数字が\(126\)である」

 

このように、対数を使うと累乗の計算がすごく楽になるんです。

\(10^{0.103}\) :\(1000\) 乗したときに \(10^{103}\) と等しくなる値のこと

 

他にも「10年で\(+200\)%の経済成長を見込むには、何年で\(+100\)%の経済成長をする必要があるか?」といった問題でも、対数が役に立ってきますよ。

 

対数はこのようにすごく便利な考え方なので、ぜひ活用してください!

 

常用対数は、天文学的な数字の計算において特に役に立ちます。ただ、数学的には常用対数より自然対数の方が活用範囲が広いので、数学において「対数」というと自然対数を指すケースが多いです。

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉