加法定理の覚え方。図形でわかる公式の考え方

加法定理とは、(α ± β)に対する三角関数を α,β に対する三角関数で表現する公式のこと。

 

この加法定理の中でも特に重要なのが以下の2つ。

 

sin(α+β)=sin α cos β + cos α sin β

cos(α+β)=cos α cos β - sin α sin β

この2つの公式さえ暗記できれば、残りの公式は簡単に求められるようになります。

 

tan(α+β)の公式⇒「sin(α+β) ÷ cos(α+β)」の分母分子をcos α cos βで割る

(α-β)の公式⇒(α+β)の公式の中の「+と-」を反転させる

 

加法定理はシンプルに「サインコス足すコスサイン」「コスコス引くサインサイン」と『繰り返し唱える』ことで暗記するのが早道です。

 

ただ、「sin(α+β)=sin α cos β + cos α sin β」と「cos(α+β)=cos α cos β - sin α sin β」の公式も「なんでこんな形になるのか理解できないとモヤモヤして暗記しにくい」という方も多いのではないでしょうか?

 

そこで今回は、加法定理の公式の考え方を図形を通じて解説していこうと思います。

 

加法定理の考え方の流れ

 

加法定理は、3つの直角三角形をくっつけた台形ABEDを考えると分かりやすくなります。

 

∠ABC=α、∠CBE=β、AB=1とおいて、1つずつじっくりと考えていきましょう。

 

step①三角形ABC

 

まずは、この図形の真ん中にある三角形ABCに注目してみましょう。

 

 

この三角形ABCは「斜辺の長さ 1 ,∠ABC=α の直角三角形」ですよね。

ということは、三角比の定義から AC=1 × sin α , BC=1 × cos α であることが分かります。

 

AC=sin α  BC=cos α

 

step②三角形ACDと三角形CBE

 

ACとBCが求まったら、今度は三角形ACDと三角形CBEに注目してみましょう。

 

ここでは、∠ACD=∠CBE=βとなるのがポイントです。

※∠ACD=β の求め方

DCEは直線なので、∠DCE=180°

つまり、∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°ということになります。

∠ACBは直角なので∠ACB=90°

∠BCEは三角形の内角の和は180°より∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=180°-β-90°=90°-β

よって、∠ACD=180°-∠ACB-∠BCE=180°-90°-(90°ーβ)=β となります。

 

この2つの三角形に注目すると

三角形ACDは「斜辺の長さ sin α ,∠ACD=β の直角三角形」なので

AD=sin α × sin β ,CD=sin α × cos β 

三角形CBEは「斜辺の長さ cos α ,∠CBE=β の直角三角形」なので

CE=cos α × sin β ,BE=cos α × cos β 

であることが分かりますね。

 

AD=sin α sin β  CD=sin α cos β

CE=cos α sin β    BE=cos α cos β 

 

step③長方形ADEF

 

AD・CD・CE・BEが求まったら、次は三角形ABFと長方形ADEFに注目!

 

まず長方形ADEFに注目すると、この長方形は

横の長さが FE=AD=sin α sin β

縦の長さが AF=DE=DC+CE=sin α cos β+cos α sin β

であることが分かります。

 

次に三角形ABFに注目すると、この三角形は

高さが AF=sin α cos β+cos α sin β

底辺が BF=BE-FE=cos α cos β-sin α sin β

の直角三角形であることが分かりますね。

 

ここまで来ればあと少しです。

 

AF=sin α cos β+cos α sin β  BF=cos α cos β-sin α sin β

 

step④三角形ABF

 

BFとAFの長さが求まったら、いよいよ大詰めです。

 

三角形ABFが「斜辺の長さ 1 ,∠ABF=(α+β)の直角三角形」であることに注目すると・・・

 

三角比の定義から

AF=1 × sin(α+β)

BF=1 × cos(α+β)

であることが判明。

 

ここに、先ほど求まった AF=sin α cos β+cos α sin β、BF=cos α cos β-sin α sin β を代入してみると・・・

 

sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β

cos(α+β)=cos α cos β-sin α sin β

 

みごと、加法定理を示すことができました。

 

Tooda Yuuto
仕組みさえ理解しておけば、公式をド忘れしてしまっても1から求められるようになるのが強みですね。

 

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。