直角三角形の辺の長さ・合同条件・面積について

「3つの角のうち、1つの角が直角の三角形」のことを、直角三角形（英語では right triangle）と言います。

また、直角の向かい側にある一番長い辺のことを、斜辺と言います。

このページでは、直角三角形がもつ性質（面積・斜辺の長さの求め方・合同条件）を見ていきましょう。

直角三角形の面積

三角形の面積は\(「底辺×高さ÷2」\)という公式から求められます。

直角三角形では、直角をはさむ2つの辺の片方を「底辺」としたら、もう片方の辺が「高さ」になります。

三平方の定理

直角三角形において、「直角」をはさむ2つの辺の長さを \(a,b\)、斜辺の長さを \(c\) としたとき

が成り立つことが分かっています。

これを、三平方の定理（別名：ピタゴラスの定理）と言います。

実際に、高さ \(3cm\),底辺 \(4cm\) の直角三角形を描いてみてください。

斜辺の長さがちょうど \(5cm\) になるのが分かるはずです。

Tooda Yuuto

これを三平方の定理の式に代入してみると、\(3×3+4×4=5×5\) で成立していることが分かりますね。

直角三角形の斜辺の長さの求め方

三平方の定理を使うと

といったことが可能になります。

①斜辺の長さを求め方

【問①】下図の直角三角形の斜辺の長さ \(c\) を求めてください。

\(a=3,b=5\) を代入すると

\(3×3+5×5=c^2\)

⇔ \(9+25=c^2\)

⇔ \(34=c^2\)

⇔ \(c=\sqrt{34}≒5.831\) となります。

②高さがわからない直角三角形の面積の求め方

【問②】下図の直角三角形の面積 \(S\) を求めてください。

まず、底辺と斜辺から「高さ \(a\) 」を求めます。

三平方の定理に \(b=3,c=4\) を代入すると

\(a^2+3×3=4×4\)

⇔ \(a^2+9=16\)

⇔ \(a^2=7\)

⇔ \(a=\sqrt{7}≒2.646\) となります。

これを、三角形の面積の公式\(「底辺×高さ÷2」\)に代入すると

\(S=3×\sqrt{7}÷2=\dfrac{3\sqrt{7}}{2}\) となります。

③直角な頂点から斜辺におろした垂線の長さの求め方

斜辺の長さを \(c\) とおくと

三平方の定理 \(a^2+b^2=c^2\) から

\(8×8+4×4=c^2\)

⇔ \(64+16=c^2\)

⇔ \(80=c^2\)

⇔ \(c=4\sqrt{5}\)

この三角形の面積は

\(8×4÷2=16\)

三角形の面積は\(「斜辺×h÷2」\)でも求まるので

\(4\sqrt{5}×h÷2=16\)

⇔ \(h=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\)

となります。

直角三角形の合同条件とその証明

直角三角形は、上述の(1),(2),(3)の三角形の合同条件以外にも①,②の条件でも合同であることを証明できます。

①斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

上図の場合、

「斜辺 \(AC=DF\) 」

「1つの鋭角 \(∠C=∠F\) 」

から

\(△ABC≡△DEF\) となります。

②斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

上図の場合、

「斜辺 \(AC=DF\) 」

「他の1辺 \(AB=DE\) 」

から

\(△ABC≡△DEF\) となります。