置換積分の公式と例題。三角関数sin,tanを使ったパターンの解き方

このページでは、色々な置換積分のやり方を見ていきます。

累乗の中身を $t$ をおくパターン

一番基本的なパターン。

累乗の中身を $t$ とおいてから $dx/dt$ を求め、変換していきます。

ルートや累乗といった複雑なかたまりの中身 $g(x)$ に注目して、それを微分した $g'(x)$ がどこかに無いか探すパターン。

$g'(x)$ が見つかれば $t=g(x)$ とおくことで $g'(x)dx=\dfrac{dt}{dx}{dx}=dt$ となり、積分しやすい形に変換できます。

$\sqrt{a^2-x^2}$ の形のパターン

$\sqrt{a^2-a^2\sin^2{θ}}=\sqrt{a^2\cos^2{θ}}=|a\cos{θ}|$

と変形するために $x=a\sin{θ}$ とおくのがコツ。

$\dfrac{1}{x^2+a^2}$ の形のパターン

$\dfrac{1}{a^2(\tan^2{θ}+1)}=\dfrac{1}{a^2}\cos^2{θ}$

と変形するために $x=a\tan{θ}$ とおくと上手くいきます。