置換積分法とは。5つのステップから分かる置換積分のやり方とコツ

置換積分法とは、変数をうまく変換することで計算量を減らすテクニックです。

たとえば、$\displaystyle \int x(2-x)^4 dx$ を考えてみましょう。

この積分は、このままだと $(2-x)^4$ を展開しないと積分の公式を当てはめることができません。

しかし、$(2-x)^4$ の展開はかなり手間がかかりますし、力技で解けても応用が効きません。

そこで $(2-x)=t$ と変換することで積分の公式を使いやすい形に変え、計算を楽にする。

それが、置換積分法です。

今回は、置換積分のやり方とコツを5つのステップに分けて解説していきます。

置換積分のやり方とコツ

置換積分法は、大きく分けて5つのステップから成り立っています。

以下の例題を通じて、順にみていきましょう。

Step① $=t$ に置きかえるものを決める

まず、$x$ を使った式を $t$ に置きかえます。

例題では、$(2x+1)^4$ の展開をする手間をなくしたいので、$2x+1=t$ と置きます。

「どの部分を $t$ に置きかえるか」の判断には慣れが必要ですが、

とりあえずはルートや累乗のなかの複雑なかたまりを $t$ と置いてみるとうまく行くことが多いです。

Step② $x=g(t)$ の形に変換して $t$ で微分。$dx/dt$ を求める

次に、Step①で置いた「 $x$ と $t$ の式」を

$x=g(t)$ の形に直してから $t$ で微分して $dx/dt$ を求めます。

例題では、$2x+1=t$ を式変形して $x=\dfrac{t-1}{2}$ 

これを $t$ で微分して $dx/dt=\dfrac{1}{2}$ となります。

$dx/dt$ が求まったら、分母を整理して $dx=\dfrac{1}{2} dt$ の形にしておくのがオススメです。

Step③ 定積分なら積分区間 $a→b$ も置きかえる

定積分では、積分区間 $a→b$ も置きかえていきます。

手順はカンタンで、$t=2x+1$ の $x$ に $a,b$ を代入するだけ。

例題では積分区間が $x:0→1$ なので、$t:1→3$ に置きかわります。

Step④ $x,dx$ を $t,dt$ に変換する

さて、これで$「x=\dfrac{t-1}{2}」$$「dx/dt=\dfrac{1}{2}」$$「t:1→3」$という3つのパーツが集まりました。

ここからが置換積分の本番です。

今まで集まった3つのパーツを使って、$x,dx$ を $t,dt$ に変換していきましょう。

こうすることで $t$ のカンタンな積分式になり、積分の公式を当てはめやすくなります。

Tooda Yuuto

3つの変換を忘れないように注意！

Step⑤ 積分の公式を使ったうえで、求められた答えの形にする

$t$ のカンタンな積分式になったら、積分の公式を使って計算していきます。

まずは不定積分 $\displaystyle \int x(2x+1)^4 dx$ の場合。

$t$ は自分で置いた値なので、答えとしては適切ではありません。

そのため、$t=2x+1$ を代入して求められた形式である「$x$ の式」に戻す必要があります。

つぎは定積分 $\displaystyle \int_0^1 x(2x+1)^4 dx$ の場合。

定積分は、積分範囲も変換されているので $x$ に戻さずに直接答えを計算してOK

最後の行の計算では、分母が同じ値どうしを先に計算したほうが良いです。

まとめ