逆行列の求め方。例題と3つのステップから分かる逆行列計算のコツ

 

このページでは、「\(2×2\) 行列の逆行列の求め方」と「\(3×3\) 行列の逆行列の求め方」を具体例を通じてみていきます。

 


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\(2×2\) 行列の逆行列の求め方

\(A=\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d \end{array}\right)\) の逆行列 \(A^{-1}\) は、以下の公式で表されます。

\(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d & -b\\-c & a \end{array}\right)\)

 

公式だけ見ると少しややこしそうに見えるかもしれませんが、以下の3つのステップで計算するとラクに求められます。

 

Step①:行列式 \(|A|=ad-bc\) で割る

Step②:対角成分をひっくり返す

Step③:非対角成分を \(-1\) 倍する

 

Tooda Yuuto
実際に、この3つのステップを使って逆行列を求めてみましょう。

 

問1: \(B=\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)\) のとき、\(B^{-1}=\ ?\)

 

問2: \(C=\left(\begin{array}{cc}8 & -3\\ -4 & 2 \end{array}\right)\) のとき、\(C^{-1}=\ ?\)

 

3つのステップを通じて計算してみると、意外とカンタンに求められるのが分かりますね。

 

 

逆行列 \(A^{-1}\) を正しく求められたかチェックしたいときは、元の行列 \(A\) とかけ算してみてください。

かけ算した結果が単位行列 \(\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1 \end{array}\right)\) になれば、正しく逆行列を求められたことが分かります。

 

 

\(3×3\) 行列の逆行列の求め方

\(3×3\) 行列や \(4×4\) 行列などの逆行列は、「掃き出し法」を使って求めるとラクです。

 

掃き出し法とは、「\(n×n\) 行列 \(A\)」と「\(n×n\) の単位行列 \(E\)」があったとき

Step①:\(A\) と \(E\) を合体させた行列 \((A|E)\) を書く

Step②:\((A|E)\) に行基本変形を行って、行列左半分の対角成分を \(1\) ・非対角成分を \(0\) にする

Step③:行列の左半分が単位行列 \(E\) になったとき、右半分の行列を抜き出すと \(A^{-1}\) が求まる

という3つのステップから逆行列 \(A^{-1}\) を求める手法です。

 

 

Tooda Yuuto
さっそく、掃き出し法を使って逆行列を求めてみましょう。

 

問3: \(A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2\\ -1 & 0 & 1\\2 & 3 & 0 \end{array}\right)\) のとき、\(A^{-1}=\ ?\)
上図の赤丸の順に、非対角成分を \(0\) ・対角成分を \(1\) に変形していくのがポイントです。

 

以上から

\(A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\ -\dfrac{2}{3} & \dfrac{4}{3} & 1\\1 & -1 & -1 \end{array}\right)\)

と求まりました。

 

実際に、元の行列 \(A\) とかけ算すると単位行列 \(E\) になることから、正しく逆行列を求められたことが分かります。

 

 

 

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数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようで意外と当たり前じゃないことを日々探しています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉