逆行列・正則行列・特異行列について。逆行列が存在するための条件とは?

 

「実数 \(a\) にかけたら \(1\) になる数」のことを逆数といい、\(a^{-1}\) と書きます。

 

 

これに対して

行列 \(A\) にかけたら単位行列 \(E\) になる行列」のことを逆行列といい、\(A^{-1}\) と書きます。

 

 

逆行列は、一言でいうと「逆数の行列バージョン」を意味します。

 

このページでは、「逆行列・正則行列・特異行列の意味」「逆行列が存在するための条件」「2×2行列の逆行列の公式」を見ていきましょう。

 

 

逆行列・正則行列・特異行列とは?

\(n\) 次の正方行列 \(A\) 、単位行列 \(E\) に対して

\(A×A^{-1}=A^{-1}×A=E\) 

を満たす行列 \(A^{-1}\) のことを、「\(A\) の逆行列」(Inverse Matrix)と言います。

 

行列 \(A\) に逆行列が存在するとき、「\(A\) は正則行列である」と言います。

反対に、行列 \(A\) に逆行列が存在しないとき、「\(A\) は特異行列である」と言います。

 

 

\(A\) が正則行列であるとき、逆行列 \(A^{-1}\) はただ1つ存在します。

1つの行列に2つ以上の逆行列が存在することはありません。

 

具体例から分かる逆行列と正則行列

たとえば、\(\left(\begin{array}{cc}2 & 5\\1 & 3 \end{array}\right)\) は \(\left(\begin{array}{cc}3 & -5\\-1 & 2 \end{array}\right)\) をかけると単位行列 \(\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1 \end{array}\right)\) になりますよね。

 

ここから

 \(\left(\begin{array}{cc}3 & -5\\-1 & 2 \end{array}\right)\) は \(\left(\begin{array}{cc}2 & 5\\1 & 3 \end{array}\right)\) の逆行列である

 \(\left(\begin{array}{cc}2 & 5\\1 & 3 \end{array}\right)\) は正則行列である(正則である)

と言うことができます。

 

一方、\(\left(\begin{array}{cc}2 & -6\\-1 & 3 \end{array}\right)\) にはどんな行列をかけても単位行列 \(\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1 \end{array}\right)\) にはなりません。

 

ここから

\(\left(\begin{array}{cc}2 & -6\\-1 & 3 \end{array}\right)\) には逆行列が存在しない

\(\left(\begin{array}{cc}2 & -6\\-1 & 3 \end{array}\right)\) は特異行列である(正則でない)

と言うことができます。

 

逆行列が存在するための条件

行列 \(A\) に逆行列 \(A^{-1}\) が存在するためには、ある条件を満たす必要があります。

 

その条件とは、「行列式 \(|A|≠0\)」です。

Tooda Yuuto
行列式は \(\det{A}\) と表記されることもあります。

 

 

行列式 \(|A|\) を求めることで、その行列に逆行列が存在するかどうかがパッと分かります。

 

行列積の逆行列

2つの行列の積 \(AB\) の逆行列は

\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) 

で表すことができます。

 

Tooda Yuuto
 \(A,B\) の位置が左右反転している点に注目

 

まとめ

 \(A\) の逆行列とは、「\(A\) にかけたら単位行列 \(E\) になる行列 \(A^{-1}\)」のこと

 \(A×A^{-1}=A^{-1}×A=E\) 

● 正則行列とは、「逆行列が存在する行列」のこと

正則行列には、逆行列がただ1つ存在する。「逆行列が2つ以上ある行列」は存在しない

特異行列とは、「逆行列が存在しない行列」のこと

行列式 \(|A|≠0\) のとき、\(A\) は正則行列である(逆行列が1つ存在する)

行列式 \(|A|=0\) のとき、\(A\) は特異行列である(逆行列が存在しない)

 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) 

 

逆行列の求め方

逆行列の意味が分かったら、次は逆行列の求め方です。

 

次のページでは、逆行列の求め方を見ていきましょう。

 

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