モーメント母関数の定義と使い方。モーメント母関数から期待値と分散を求めてみよう

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今回は、モーメント母関数について書いていきます。

モーメント母関数は、「積率母関数」とも言います。
ただ、「積率母関数」というと確率母関数と文字面が似ているのが難点。

 

微積分のテクニックをたくさん使うので、計算嫌いの方には辛い部分かもしれませんが、統計学の地力をつけるためにもぜひマスターしておきたいところです。

photo credit:Nelson L.

モーメント母関数(積率母関数)って何?

モーメント母関数とは、m 次のモーメント(後述)を生成するための関数です。(m=1,2,3…)

 

ある確率変数 X に対して、モーメント母関数 MX(t) は以下の式で定義されます。

moment-gf

モーメント母関数は、etXの期待値として求められる t の関数です。

 

中学・高校の確率計算で出てくる期待値は「X × P(X)」の総和から求められましたが、モーメント母関数は「etX × P(X)」の総和から求められます。

 

X が従う確率分布によっては「モーメント母関数が存在しない」ケースもありますが、以下のように主要な確率分布の多くにはモーメント母関数が存在します。

 

moment-table

※ exp(x)=ex

>二項分布

>ポアソン分布

>正規分布

どう使うの?

さて、モーメント母関数を求められると、なにが嬉しいか。

 

その答えは「モーメント母関数を t で m 回微分してから t=0 を代入すると m 次のモーメントを求められる」ことにあります。

 

m-moment

上式のように、モーメント母関数 MX(t)を t で m 回微分してから t=0 を代入すると、E[Xm]が求められる事が分かります。

この、E[Xm]のことを X の原点まわりの m 次モーメントと言います。(m=1,2,3…)

 

つまり、MX(t)を t で1回微分してから t=0 を代入すると「Xの1次モーメント」。
2回微分してから t=0 を代入すると「Xの2次モーメント」が求まるという事です。

 

また、ここから

X の期待値は「Xの原点まわりの1次モーメント」と等しく

X の分散は「Xの原点まわりの2次モーメント」から「Xの原点まわりの1次モーメント」の2乗を引いた値に等しい

という性質を利用すると…

 

moment-ev

期待値と分散が求まります。

 

そう、つまりモーメント母関数さえ分かってしまえば、期待値や分散も求めることができるんです。

 

そのため、モーメント母関数は「期待値や分散を求める方法の1つ」としても重宝します。

モーメント母関数から期待値と分散を求めてみよう

それでは、具体的にモーメント母関数から期待値と分散を求めてみましょう。

 

まず、正規分布の期待値・分散を計算してみます。

seiki-mo

 

次に、指数分布。

exp-mo

 

見事、期待値と分散を求めることができました。

 

任意の次数のモーメントを求めたいときに特に重宝する関数です。

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉