いま、「1」「2」「3」「4」「5」の5枚のカードがあるとします。
この5枚のカードについて、2種類の問題を考えてみましょう。
①：「この中から2枚を使って2ケタの数字を作る場合、作れる数字は何通りあるか？」
②：「この中から2枚のカードを選ぶ場合、選び方は何通りあるか？」
この2種類の問題では、それぞれ答えが変わってきます。
①は順列で、答えは 5P2＝5×4＝20通り
②は組み合わせで、答えは 5C2＝5×4÷2＝10通りになります。
今回は、そんな順列と組み合わせの数の考え方についてです。
photo credit:William Warby
①順列
異なるｎ個の中から k 個を順番をつけて並べる場合の並べ方は ｎPｋ で表され、順列の公式から求められます。
「！」は階乗(かいじょう）と言って、n から 1 までのすべての整数をかけ算した値のことを n！ と表記します。（ただし、０！＝１と定義される）
たとえば、 7！ は 7×6×5×4×3×2×1＝5040 を意味します。
初めにあげた「1」「2」「3」「4」「5」の5枚で作れる2ケタの数は
(12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,
34,35,41,42,43,45,51,52,53,54)の20通り
これは、この順列の公式を使う事で
5P2＝5×4＝20通り
と求めることができます。
下のように表にして考えると、順列が 5×4＝20 になるのが分かりやすいです。
「1」「2」「3」「4」「5」「6」の6枚のカードで作れる4ケタの数の場合は
6P4＝6×5×4×3＝360通りとなります。
②組み合わせ
一方、異なるｎ個の中から k 個を順番をつけずに選ぶ場合の選び方は ｎCｋ で表され、組み合わせの数の公式から求められます。
組み合わせの数(ｎCｋ)は、ちょうど順列の数(ｎPｋ)を k! で割った値になります。
これは、順列では「並びだけが違う、組み合わせとして見たら同じものが1セットにつき k! 個ずつ存在する」のが理由です。
初めにあげた「1」「2」「3」「4」「5」の5枚から2枚を選ぶときの選び方は
(12,13,14,15,23,24,25,34,35,45)の10通り
これは、この組み合わせの数の公式を使う事で
5C2＝5×4÷2＝10通り
と求めることができます。
下のように表にして考えると「並びだけが違う、組み合わせとして見たら同じものが1セットにつき 2！＝2 個ずつ存在する」のが分かりやすくなります。
「1」「2」「3」「4」「5」「6」の6枚から4枚を選ぶ組み合わせの数の場合は
6C4＝(6×5×4×3)÷(4×3×2×1)＝15通りとなります。
順列か？組み合わせか？の判断テクニック
では、ここで問題です。
「コインを5回投げたうち、表が2回出るパターンは何通り？」
この問題では、順列と組み合わせ、どちらの公式を使うべきでしょうか。
正解は、組み合わせの数の公式。答えは 5C2＝10通りとなります。
この性質から、組み合わせの数は「コインを5回投げたときに2回表が出る確率」を求めるときなどに、二項分布の確率関数で利用されています。
「どちらの公式を使うべきか少し迷った」という方も多いのではないでしょうか？
このように、順列と組み合わせ、どちらの公式を使うべきか悩んだときに役に立つのが
「順番を並べかえたときに意味が変わるか？」で考えるテクニックです。
順番を並べかえたときに意味が変わる・・・順列
順番を並べかえても意味が変わらない・・・組み合わせ
たとえば、『5色の中から重複せずにカーテンとベッドの色を選ぶときの選び方』は
「青のカーテン＋白のベッド」と「白のカーテン＋青のベッド」では意味が変わるので、順列
一方、コイン投げは「1回目と4回目に表が出る」と「4回目と1回目に表が出る」では意味が変わらないので、組み合わせ
といった具合です。
①：2ケタの数「14」と「41」では意味が変わるので順列
②：「1と4を選ぶ」と「4と1を選ぶ」では意味が変わらないので組み合わせ
