順列と組み合わせの数の公式。どちらを使うのが正しいか迷ったときの便利なテクニック

いま、「1」「2」「3」「4」「5」の5枚のカードがあるとします。

この5枚のカードについて、2種類の問題を考えてみましょう。

①：「この中から2枚を使って2ケタの数字を作る場合、作れる数字は何通りあるか？」

②：「この中から2枚のカードを選ぶ場合、選び方は何通りあるか？」

この2種類の問題では、それぞれ答えが変わってきます。

①は順列で、答えは ₅P₂＝5×4＝20通り

②は組み合わせで、答えは ₅C₂＝5×4÷2＝10通りになります。

今回は、そんな順列と組み合わせの数の考え方についてです。

photo credit:William Warby

①順列

異なるｎ個の中から k 個を順番をつけて並べる場合の並べ方は _ｎP_ｋ で表され、順列の公式から求められます。

「！」は階乗(かいじょう)と言って、n から 1 までのすべての整数をかけ算した値のことを n！ と表記します。（ただし、０！＝１と定義される）

初めにあげた「1」「2」「3」「4」「5」の5枚で作れる2ケタの数は

(12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,

34,35,41,42,43,45,51,52,53,54)の20通り

これは、この順列の公式を使う事で

₅P₂＝5×4＝20通り

と求めることができます。

下のように表にして考えると、順列が 5×4＝20 になるのが分かりやすいです。

②組み合わせ

一方、異なるｎ個の中から k 個を順番をつけずに選ぶ場合の選び方は _ｎC_ｋ で表され、組み合わせの数の公式から求められます。

組み合わせの数(_ｎC_ｋ)は、ちょうど順列の数(_ｎP_ｋ)を k! で割った値になります。

これは、順列では「並びだけが違う、組み合わせとして見たら同じものが1セットにつき k! 個ずつ存在する」のが理由です。

初めにあげた「1」「2」「3」「4」「5」の5枚から2枚を選ぶときの選び方は

(12,13,14,15,23,24,25,34,35,45)の10通り

これは、この組み合わせの数の公式を使う事で

₅C₂＝5×4÷2＝10通り

と求めることができます。

これも、下のように表にして考えると「並びだけが違う、組み合わせとして見たら同じものが1セットにつき 2！＝2 個ずつ存在する」のが分かりやすくなります。

順列か？組み合わせか？の判断テクニック

では、ここで問題です。

「コインを5回投げたうち、表が2回出るパターンは何通り？」

この問題では、順列と組み合わせ、どちらの公式を使うべきでしょうか。

By: frankieleon

正解は、組み合わせの数の公式。答えは ₅C₂＝10通りとなります。

コイン投げから分かる二項分布。正規分布やポアソン分布との関係性と近似について

2016.11.06

「どちらの公式を使うべきか少し迷った」という方も多いのではないでしょうか？

このように、順列と組み合わせ、どちらの公式を使うべきか悩んだときに役に立つのが

「順番を並べかえたときに意味が変わるか？」で考えるテクニックです。

たとえば、『5色の中から重複せずにカーテンとベッドの色を選ぶときの選び方』は

「青のカーテン＋白のベッド」と「白のカーテン＋青のベッド」では意味が変わるので、順列

一方、コイン投げは「1回目と4回目に表が出る」と「4回目と1回目に表が出る」では意味が変わらないので、組み合わせ

といった具合です。

①：2ケタの数「14」と「41」では意味が変わるので順列

②：「1と4を選ぶ」と「4と1を選ぶ」では意味が変わらないので組み合わせ