平方根とは何か。計算方法・覚え方・どう役に立つのかを解説

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中学数学の重要ポイントの1つ、「平方根」。

平方根は、英語では”square root”と言い、

Both 2 and –2 are square roots of 4.(2 と –2 の両方が 4 の平方根です)といった表現をします。

平方根は記号がゴチャゴチャとした印象を与えるうえに、『無理数』とも関わってくるため、「ややこしくて好きじゃない…」という方も多いのではないでしょうか。

しかし平方根は、しっかりとおさえておけば「ボールを投げた時の放物線運動の計算」や「株価の変動リスクの評価(標準偏差)」など様々な分野の計算方法が見えてくるので、理解できる世界がグッと広がってくる単元でもあります。

ぼく自身、複雑に見えていた様々な数式を自分でも解けるようになって、数学の他分野への貢献度の高さに気づき始めたのはこの辺りからでした。

ぜひ、ここで平方根とその周辺分野のつながりをおさえていってください。

photo credit:Martin Svedén

平方根とは何か。その求め方

足し算の反対は、引き算。

かけ算の反対は、わり算。

では、2乗の反対は何だろう?

そんな考えから出てきたのが、「平方根」です。

具体的には、2乗したら x になる数のことを、 x の平方根と呼びます。

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たとえば、「16の平方根はいくつか?」という問題では、
「2乗したら16になる数はいくつか?」と考えると分かりやすいでしょう。

□×□=16のとき、□に入る数字は何?

2乗したら16になる数は、「4」と「-4」の2つがありますよね。

4 × 4=16 (-4)×(-4)=16

そのため、「16の平方根」は「4と-4」が答えとなります。(まとめて±4と書くことが多いです)

このとき、プラスの「4」を「16の正の平方根」、マイナスの「-4」を「16の負の平方根」と言います。

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同じように、「4の平方根は、±2」「9の平方根は、±3」「25の平方根は、±5」「100の平方根は、±10」となります。

「2の平方根」は?

平方根は、整数だけとは限りません。

たとえば、「2の平方根」は±1.41421356…と無限に続く数であることが分かっています。

ちょうど、円周率が3.14159265…と無限に続いていくのと同じように。

円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について
円周率とは、円の直径に対する円周の長さの比のこと。 英語では"the perimet

こういったケースでは、無限に続く数を書くわけにはいかないので、「√」で表される根号と呼ばれる記号を使って「2の平方根は、√2と-√2(まとめて±√2)」と表記されます。

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xの平方根:「2乗したら x になる数」を指す。正の平方根と負の平方根の2つが存在する

根号:平方根であることを表す記号「√」を指す

ルート:「√」の読み方。√2は「るーとに」と読む

「正の平方根」は、文脈上誤解されるおそれがない場合は、単に「平方根」と省略して書かれることが多いです。しかし、数学のテストでは「この生徒は平方根には『正の平方根』と『負の平方根』の2つがあることをキチンと理解しているな」と採点官に分かってもらえるよう、『±(プラスマイナス)』をきちんと明記するクセをつけておきましょう!

平方根の小数表記の覚え方と使い道

数学の世界では、「2の平方根は?」と聞かれたら「±√2」と答えればOKですが、物理学や統計学の世界では「√2mとは具体的に何mなのかを小数を使って表す必要がある」ケースもあるので、√2・√3・√5の値を何桁か覚えておくと非常に便利です。

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そこで、√2・√3・√5の値の有名なゴロ合わせを見ていきましょう。

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まず、√2の覚え方は『ひとよひとよにひとみごろ』

一晩経つごとに、どんどんと桜が「人が見てちょうどよい頃合い(見頃)」になっていく様子を表す、風流なゴロ合わせとなっています。

√3の覚え方は『ひとなみにおごれや』。ケチな人に対して「もう少し奢れや!」とせまる、豪快なゴロ合わせです。

√5の覚え方は『ふじさんろくおーむなく』。富士山の麓(山の下の方の部分)でオウムが鳴いている様子を表しています。俳句にありそうな一文ですね。

「-1の平方根」は?

「16の平方根は±4である」ということからも分かる通り、正の数も負の数も2乗したら正の数になるので、負の数(-1や-16など)には平方根が存在しません。

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ですから、中学数学では-1の平方根は「なし」で正解です。

しかし、高校以上の数学では i という「-1の平方根」が存在する、という前提で話が進んでいく単元も出てくるんです。不思議ですよね。

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「-1の平方根の存在を認めると、どういう風に便利なんだろう?」と少しでも興味がわいた方は、虚数の記事も読んでいっていただけると嬉しいです。

虚数とは何か?複素数とは何か?が一気に分かりやすくなる記事
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