三角関数の基礎知識。孤度法・三角比の表まとめ

 

今回は、三角関数の基礎知識をできるだけ分かりやすくまとめてみました。

 

サイン・コサイン・タンジェント

 

まず、原点Oを中心とする半径 r の円と、その円上の点A(x,y)を考えます。

 

 

「x軸の正の部分」と線分OAによる(反時計回りを正の向きとする)角の大きさ ∠BOA=θ に対して

sin θ =y/r , cos θ =x/r , tan θ =y/x

で表される3つの三角比の関数のことを、三角関数と言います。

 

「sin θ ,cos θ ,tan θ の分母・分子をド忘れしそう…」と感じる方も多いかと思いますが、これらはその頭文字 s,c,t の筆記体のイメージと結びつけると覚えやすくなりますよ。

 

 

Tooda Yuuto
筆記体で「1番目に通る辺」が分母、「2番目に通る辺」が分子です。

 

弧度法とは?

sin θ と書くときの θ は「30°,60°」といった度数法ではなく、「π/6,π/3」といった弧度法で表されることが多いです。

 

弧度法とは「円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度」を1rad(ラジアン)と定義する計量法のこと。

 

これは「半径1mの円の円弧の長さが θ mとなるような角度の大きさを θ rad と呼ぶ」と覚えておくと分かりやすくなります。

 

半径1の円の円周は2πなので、「度数法における360°」=「孤度法における2π」となります。

反対に「孤度法における1」=「度数法における180°/π≒57.3°」とも言えますね。

 

※πは円周率≒3.14

円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について

2015.08.20

 

Tooda Yuuto
弧度法では「半径 r の円の角度 θ に対応する円孤の長さは rθ である」といったようにシンプルな計算になるおかげで微分・積分が楽になるので、数学においては度数法よりも重宝される計量法となっています。

 

三角比の表

三角比の中でも、θ=0,π/6,π/4,π/3,π/2での sin θ ,cos θ の値はよく使うので、出来れば完璧に暗記しておきたいところ。

 

 

sin θ と cos θ は √a/2 の形で覚えると暗記しやすいですよ。

 

 

ついでに 2π/3≦θ≦2π における三角比も見ていくと、こんな感じ。

 

こちらは「θ=0,π/6,π/4,π/3,π/2」を覚えておけば後述の公式から求められるので、暗記する必要はありません。

 

三角関数で基本となる4つの式

最後に、三角関数の公式の中でも特によく使う4つの式を紹介して、終わりにしたいと思います。

 

1つ目は tan θ =sin θ / cos θ 。

これは、 sin θ ,cos θ ,tan θ の定義式から求められます。

 

 

3つ目は tan2θ+1=1/cos2θ 。

これは、先ほどの sin2θ+cos2θ=1 の両辺を cos2θ で割ってから tan θ =sin θ / cos θ を当てはめることで求まります。

 

cos θ から直接 tan θ を求めたいときに便利な公式ですね。

 

4つ目はsin(θ+π/2),cos(θ+π/2)の公式。

これは、さきほどの点Aをπ/2(=90°)回転させた点A’を考えると分かりやすいです。

 

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。