指数関数とは何か。指数と関数の意味からわかるグラフの仕組みとその性質

 

指数関数とは、a > 0 かつ a ≠ 1 のとき「 y = ax で表される関数」のことを言います。

また、この関数 y = ax のことを「 a を底とする x の指数関数」と呼びます。

 

a > 1 のとき、指数関数は x が増加するにつれて y の値が増加していき

1 > a > 0 のとき、指数関数は x が増加するにつれて y の値が減少していくという特徴があります。

 

 

このページでは、「指数と関数の意味」から指数関数とは何なのかを見ていきましょう。

 

指数とは

\(2\) を \(3\) 回かけ算すると、\(2×2×2=8\) になりますよね。

これを「 \(2\) を \(3\) 乗したら \(8\) になる」と言い、次のように書きます。

 

 

このとき

繰り返しかけ算する数「 \(2\) 」のことを「底」

「底」を繰り返しかけ算する回数「 \(3\) 」のことを「指数」

と言います。

 

「指数」とは、「底」を繰り返しかけ算する回数を表す値

 

関数とは

「変数 \(x\) によって値が決まる数」のことを、「関数」と言います。

 

たとえば、時給 \(800\) 円の仕事があった場合

働く時間を \(x\) 時間、もらえる給料を \(y\) 円とおくと

\(y=800x\) と表せて、「働く時間 \(x\) によって給料 \(y\) の値が決まる」ことが分かりますよね。

 

 

このとき、「給料 \(y\) は働く時間 \(x\) の関数である」と言います。

 

「関数」とは、変数 \(x\) によって値が決まる数のこと

 

指数関数とは

指数関数とは、「指数」の部分が変数 \(x\) である「関数」のことです。

 

 

具体的には

「定数 \(a\) を繰り返しかけ算する回数」が変数 \(x\) となった関数 \(y=a^x\) のことを

「 \(a\) を底とする \(x\) の指数関数」と言います。

 

 

指数関数 \(y=a^x\) では、\(「a>0,a≠1」\)の場合のみを考えるのが一般的です。

\(a=1\) や \(0≧a\) だと、 \(y=a^x\) が定数になったり、実数ではなくなるケースがあるからです。

 

 

4つの指数法則

指数関数を使いこなすには、\(4\) つの指数法則を知っておくことが重要です。

 

【指数法則】

\(a\neq0\) かつ \(m,n\) が整数のとき

  1. \(a^m×a^n=a^{(m+n)}\)
  2. \((a^m)^n=a^{mn}\)
  3. \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
  4. \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

1つ目は、「\(a\) を \(m\) 回かけた値」に「\(a\) を \(n\) 回かけた値」をかけると

「\(a\) を \((m+n)\) 回かけた値」になる、というものです。

 

 

この法則に \(n=0\) を代入して \(a^m\) で割ると、\(a^0=1\) であることも分かります。

 

2つ目は、「\(a\) を \(m\) 回かけた値」を \(n\) 回かけると

「\(a\) を \(m×n\) 回かけた値」になる、というものです。

 

3つ目は、「\(a\) の \(-n\) 乗」は「\(a\) の \(n\) 乗の逆数」になるというもの。

 

この法則は、1番目の法則に \(m=-n\) を代入して両辺を \(a^n\) で割ると求まります。

 

4つ目は、「\(a\) の \(\frac{1}{n}\) 乗」は「\(a\) の \(n\) 乗根」になるというもの。

※ \(a\) の \(n\) 乗根:「\(n\) 乗したら \(a\) になる数」のこと

 

この法則は、2番目の法則に \(m=\frac{1}{n}\) を代入すると求まります。

 

Tooda Yuuto
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) や \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\) となる理由については、「べき乗」の記事でも解説しているので参考にしてみてください。

 

指数関数をグラフで見てみよう

指数関数のグラフは、\(y=a^x\) を満たす \((x,y)\) の点を滑らかにつないでいくと描くことができます。

 

 

たとえば「\(y=2^x\)」を作図するときは「\(x=0\) のとき \(y=2^0=1\)」をベースに

\(x\) が \(1\) 増えるごとに \(y\) は \(2\) 倍される

\(x\) が \(1\) 減るごとに \(y\) は \(\dfrac{1}{2}\) 倍される

と考えると作図しやすいです。

 

ここからさらに細かく見ていくには、「\(2\) の \(n\) 乗根」を使います。

 

たとえば \(2\) の \(5\) 乗根 \(\sqrt[5]{2}≒1.148\) を使うと

\(x\) が \(0.2\) 増えるごとに \(y\) は \(\sqrt[5]{2}≒1.148\) 倍される

\(x\) が \(0.2\) 減るごとに \(y\) は \(\dfrac{1}{\sqrt[5]{2}}≒0.870\) 倍される

ということが分かります。

 

これを図に反映すると以下のようになります。

 

これを繰り返していくと、最終的に \(y=2^x\) は以下のグラフになることが分かります。

 

 

\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) の場合は、同様の手順をふむと以下のグラフになることが分かります。

 

 

指数関数の性質

最後に、指数関数 \(y=a^x\) の性質です。

  1. \(-∞<x<∞,y>0\)
  2. \(a\) がどんな値でも必ず点 \((0,1)\) を通る
  3. 漸近線は \(x\) 軸 \((y=0)\)
  4. \(a>1\) なら単調増加(\(x\) が増加すると \(y\) も増加)
  5. \(1>a>0\) なら単調減少(\(x\) が増加すると \(y\) は減少)

 

 

 

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