行列のかけ算のやり方まとめ。例題から分かる行列の積の考え方

今回は、「行ベクトルと列ベクトルの内積」・「2×2行列どうしのかけ算」・「l×m行列とm×n行列のかけ算」について書いていきます。

行ベクトルと列ベクトルの内積

行ベクトルと列ベクトルの内積は、以下の式で与えられます。

これは、下図のように「対応する成分をかけ算して合計した値」と考えると分かりやすいです。

2行2列の行列どうしのかけ算は、以下の行列で求められます。

Tooda Yuuto

3つのステップを通じて、行列どうしのかけ算のやり方をみていきましょう。

まず、「左の行列の行間に横線」「右の行列の列間に縦線」を引きます。

こうすることで、内積を求める行・列の対応が分かりやすくなります。

「行」・「列」の漢字右側の平行線と対応させると覚えやすいです。

つぎに、行列の積の1行1列成分を求めます。

1行1列成分は、「左の行列の1行目」と「右の行列の1列目」の内積から求められます。

例題では

左の行列の1行目が $\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \end{array}\right)$

右の行列の1列目が $\left(\begin{array}{c}5\\7\end{array}\right)$

なので、1行1列成分はその内積 $1×5+2×7=19$ となります。

同じように、他の成分もすべて求めていきます。

$m$ 行 $n$ 列成分は、「左の行列の $m$ 行目」と「右の行列の $n$ 列目」の内積から求められます。

例題では

左の行列の2行目が $\left(\begin{array}{cc}3 & 4 \end{array}\right)$

右の行列の2列目が $\left(\begin{array}{c}6\\8\end{array}\right)$

なので、2行2列成分はその内積 $3×6+4×8=50$ となります。

以上から、２×２行列どうしの積が求まりました。

行列どうしのかけ算は、行数・列数が増えても考え方は同じです。

また、行列どうしのかけ算には、以下の性質があります。

① 行列どうしのかけ算は、「左の列数」と「右の行数」が等しくないとかけ算できない

②「 $l$ 行 $m$ 列の行列」と「 $m$ 行 $n$ 列の行列」の積が、「 $l$ 行 $n$ 列の行列」となる