最大公約数って何だったっけ?となった時に読む記事

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日常生活ではあまり使わないけれど、知っていて当たり前と言われる数学知識、「最大公約数・最小公倍数」。

最大公約数と最小公倍数を勘違いしていると、たまに会話の中で出てきたときに大恥をかいてしまうかもしれません。

今回は、そんな最大公約数と最小公倍数を2回に分けて解説していこうと思います。

最小公倍数って何だったかな?となった時に読む記事
前回に引き続き、最大公約数と最小公倍数のお話。 今回は、「最小公倍数」の計算

この記事では、「最大公約数」の計算方法とかんたんな覚え方について書いていきます。

photo credit:April Killingsworth

最大公約数の意味と求め方

最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のこと。

正確な表現では、「2つ以上の正の整数に共通な約数のうち、最大のもの」を指します。

※正の整数:0より大きな整数のこと。つまり1以上の整数

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パッと言われただけではイメージが湧きにくいと思うので、具体的に『24と36の最大公約数』を求めてみましょう。

step①2つの数の約数をそれぞれ求めよう!

『24と36の最大公約数』は「24と36に共通する約数のうち、最大のもの」を指します。

そこでまずは、『24の約数』と『36の約数』をそれぞれ求めてみましょう。

『24の約数』とは「24を割り切れる正の整数」のことですから、「24÷1=24、24÷2=12…」という感じに、1から順番に24を割っていくことで調べることができます。

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実際に計算してみると、「1,2,3,4,6,8,12,24」の8個が24を割り切れる数であることが分かりますよね。

この「1,2,3,4,6,8,12,24」の8個が、『24の約数』となります。

ちなみに約数には、「元の数と同じか、それよりも小さな数である」という特徴があります。

つまり『24の約数』は、必ず「24以下の数」なんです。

これは、『約』という字に「約束・節約といったギュッと絞るイメージ」をつけておくと覚えやすいですよ。(※約束→小指をギュッと結ぶ。節約→財布のひもをギュッと絞る)

次に、36についても同じように計算してみましょう。

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この計算結果から、36の約数は「1,2,3,4,6,9,12,18,36」の計9個であることが分かります。

ワンポイントアドバイス

約数を1つずつ求めていると「本当にこれで約数を全部求められたのかな…」と不安になりますよね。

そこで役に立つのが「素因数分解で約数の個数を調べるテクニック」です。

実は素因数分解というテクニックを使うと、約数が全部で何個あるのかが1発で分かるようになるんです。

※素因数分解:24=2×2×2×3といったように、素数のかけ算に分解すること

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「素因数分解によると24の約数は8個あるはずなのに、まだ7個しか求められていない…。あと1個を探してみよう!」と判断できるようになるので、ケアレスミスが少なくなりますよ。

210=2×3×5×7の約数なら、(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16個

step②それぞれの約数の中で、共通するものを見つけよう!

『24の約数』と『36の約数』を求めたら、今度は『24の約数』と『36の約数』の中で共通するもの(=『24と36の公約数』)を探してみましょう。

イメージとしては下図のような感じです。

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『24の約数』と『36の約数』を見比べてみると、「1と2と3と4と6と12」が共通していますよね。

この6つの数「1,2,3,4,6,12」が『24と36の公約数』となります。

公約数:2つ以上の正の整数に共通な約数のこと

step③公約数の中で一番大きな数はどれ?

さて、ここまで来たらもうクライマックス。

先ほど求めた『24と36の公約数』の中で、一番大きな数はどれでしょうか?

「12」ですよね。

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そして最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のことでしたよね。

ですから、この「12」が『24と36の最大公約数』となるんです。

最大公約数まとめ

①最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のこと。「2つ以上の正の整数に共通な約数のうち、最大のもの」を指す

②約数および公約数・最大公約数は、必ず「元の数と同じか、それよりも小さな数」になる。36の約数は必ず36以下であり、24と36の最大公約数は必ず24以下

③これは、『約』という字に「約束・節約といった絞るイメージ」をつけておくと覚えやすい

④素因数分解というテクニックを使うと約数が全部で何個あるのか1発で分かり、ケアレスミスが減る

いかがだったでしょうか。

この記事を通じて「最大公約数を求めるなんて簡単!」と思えるようになっていただけたら嬉しいです。