最大公約数の意味と求め方。約数がいくつあるか簡単に調べる方法とは?

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今回は、最大公約数と最小公倍数を2回に分けて解説していこうと思います。

 

この記事では、「最大公約数」の計算方法とカンタンな覚え方について書いていきます。

photo credit:April Killingsworth

約数とは

約数とは、ある整数を割り切れる(余りが0になる)整数のこと。

 

たとえば

「6の正の約数」とは、6を割り切れる正の整数なので「1,2,3,6」の4つ

「9の正の約数」とは、9を割り切れる正の整数なので「1,3,9」の3つ

となります。

※正の数とは、0より大きい数のことです。

 

反対に、4や5は「6の約数」ではありません。

「6÷4=1あまり2」「6÷5=1あまり1」のように4や5では6を割り切れない(余りが0にならない)からです。

 

Tooda Yuuto

約数には、「元の数と同じか、それより小さな数」という特徴があります。

つまり、『6の約数』は必ず「6以下の数」となるんです。

これは『約』という字に「約束・節約といったギュッと絞るイメージ」をつけておくと覚えやすいです。(※約束→小指をギュッと結ぶ。節約→財布のひもをギュッと絞る)

 

最大公約数の意味と求め方

2つ以上の整数に共通する約数のことを「公約数」と言います。

そして、公約数の中で最大のものを「最大公約数」と言います。

Tooda Yuuto
「最大公約数とは、共通する約数の中で一番大きな数のこと」と覚えておきましょう。

 

具体的に『24と36の最大公約数』を求めてみましょう。

 

step①2つの数の約数をそれぞれ求めよう!

『24と36の最大公約数』は「24と36に共通する約数の中で一番大きな数」を指します。

 

そこでまずは、『24の正の約数』と『36の正の約数』をそれぞれ求めていきましょう。

 

『24の正の約数』とは「24を割り切れる正の整数」のことですから、「24÷1=24、24÷2=12…」という感じに、1から順番に24を割っていくことで調べることができます。

 

 

実際に計算してみると、「1,2,3,4,6,8,12,24」の8個が24を割り切れる数だと分かりますよね。

 

この「1,2,3,4,6,8,12,24」の8個が、『24の正の約数』となります。

 

次に、36についても同じように計算してみましょう。

 

 

この計算結果から、「1,2,3,4,6,9,12,18,36」の9個が『36の正の約数』であることが分かります。

 

ワンポイントアドバイス

約数を1つずつ求めていると「本当にこれで約数を全部求められたのかな…」と不安になりますよね。

そこで役に立つのが「素因数分解で約数の個数を調べるテクニック」です。

 

実は素因数分解というテクニックを使うと、約数が全部で何個あるのかが1発で分かるようになるんです。

※素因数分解:24=2×2×2×3といったように、素数のかけ算に分解すること

 

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「素因数分解によると24の約数は8個あるはずなのに、まだ7個しか求められていない…。あと1個を探してみよう!」と判断できるようになるので、ケアレスミスが少なくなりますよ。

 

210=2×3×5×7なら、約数の数は(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16個

step②それぞれの約数の中で、共通するものを見つけよう!

『24の正の約数』と『36の正の約数』を求めたら、今度は『24の正の約数』と『36の正の約数』の中で共通するものを探してみましょう。

 

イメージとしては下図のような感じです。

 

『24の正の約数』と『36の正の約数』を見比べてみると、「1と2と3と4と6と12」が共通していますよね。

 

この6つの数「1,2,3,4,6,12」が『24と36の正の公約数』となります。

 

step③公約数の中で一番大きな数はどれ?

それでは、先ほど求めた『24と36の正の公約数』の中で、一番大きな数はどれでしょうか?

 

「12」ですよね。

そして最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のことでしたよね。

 

ですから、この「12」が『24と36の最大公約数』となるんです。

 

最大公約数まとめ

①最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のこと。「2つ以上の整数に共通する約数のうち、最大のもの」を指す

②約数は、必ず「元の数と同じか、それよりも小さな数」になる。24の約数は必ず24以下であり、36の約数は必ず36以下

③これは、『約』という字に「約束・節約といった絞るイメージ」をつけておくと覚えやすい

④素因数分解というテクニックを使うと約数が全部で何個あるのか1発で分かり、ケアレスミスが減る

 

いかがだったでしょうか。

この記事を通じて、最大公約数を求めるのって簡単!と思えるようになっていただけたら嬉しいです。

 

最小公倍数って何?その求め方と素因数分解のテクニック

2016.05.29

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。