最大公約数って何だったっけ?となった時に読む記事

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今回は、最大公約数と最小公倍数を2回に分けて解説していこうと思います。

最小公倍数って何だったかな?となった時に読む記事

2016.05.29

 

この記事では、「最大公約数」の計算方法とカンタンな覚え方について書いていきます。

photo credit:April Killingsworth

最大公約数の意味と求め方

最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のこと。

 

正確な表現では、「2つ以上の正の整数に共通な約数のうち、最大のもの」を指します。

※正の整数:0より大きな整数のこと。つまり1以上の整数

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パッと言われただけではイメージが湧きにくいと思うので、具体的に『24と36の最大公約数』を求めてみましょう。

step①2つの数の約数をそれぞれ求めよう!

『24と36の最大公約数』は「24と36に共通する約数のうち、最大のもの」を指します。

 

そこでまずは、『24の約数』と『36の約数』をそれぞれ求めてみましょう。

 

『24の約数』とは「24を割り切れる正の整数」のことですから、「24÷1=24、24÷2=12…」という感じに、1から順番に24を割っていくことで調べることができます。

 

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実際に計算してみると、「1,2,3,4,6,8,12,24」の8個が24を割り切れる数であることが分かりますよね。

 

この「1,2,3,4,6,8,12,24」の8個が、『24の約数』となります。

 

ちなみに約数には、「元の数と同じか、それよりも小さな数である」という特徴があります。

つまり『24の約数』は、必ず「24以下の数」なんです。

 

これは、『約』という字に「約束・節約といったギュッと絞るイメージ」をつけておくと覚えやすいですよ。(※約束→小指をギュッと結ぶ。節約→財布のひもをギュッと絞る)

 

次に、36についても同じように計算してみましょう。

 

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この計算結果から、36の約数は「1,2,3,4,6,9,12,18,36」の計9個であることが分かります。

ワンポイントアドバイス

約数を1つずつ求めていると「本当にこれで約数を全部求められたのかな…」と不安になりますよね。

そこで役に立つのが「素因数分解で約数の個数を調べるテクニック」です。

 

実は素因数分解というテクニックを使うと、約数が全部で何個あるのかが1発で分かるようになるんです。

※素因数分解:24=2×2×2×3といったように、素数のかけ算に分解すること

 

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「素因数分解によると24の約数は8個あるはずなのに、まだ7個しか求められていない…。あと1個を探してみよう!」と判断できるようになるので、ケアレスミスが少なくなりますよ。

 

210=2×3×5×7の約数なら、(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16個

step②それぞれの約数の中で、共通するものを見つけよう!

『24の約数』と『36の約数』を求めたら、今度は『24の約数』と『36の約数』の中で共通するもの(=『24と36の公約数』)を探してみましょう。

 

イメージとしては下図のような感じです。

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『24の約数』と『36の約数』を見比べてみると、「1と2と3と4と6と12」が共通していますよね。

 

この6つの数「1,2,3,4,6,12」が『24と36の公約数』となります。

 

公約数:2つ以上の正の整数に共通な約数のこと

step③公約数の中で一番大きな数はどれ?

それでは、先ほど求めた『24と36の公約数』の中で、一番大きな数はどれでしょうか?

 

「12」ですよね。

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そして最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のことでしたよね。

 

ですから、この「12」が『24と36の最大公約数』となるんです。

最大公約数まとめ

①最大公約数とは、公約数の中で一番大きな数のこと。「2つ以上の正の整数に共通な約数のうち、最大のもの」を指す

②約数および公約数・最大公約数は、必ず「元の数と同じか、それよりも小さな数」になる。36の約数は必ず36以下であり、24と36の最大公約数は必ず24以下

③これは、『約』という字に「約束・節約といった絞るイメージ」をつけておくと覚えやすい

④素因数分解というテクニックを使うと約数が全部で何個あるのか1発で分かり、ケアレスミスが減る

 

いかがだったでしょうか。

この記事を通じて、最大公約数を求めるのって簡単!と思えるようになっていただけたら嬉しいです。

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。