大数の法則・チェビシェフの不等式を証明してみよう!

 

今回は、大数の法則(弱法則)の証明方法を見ていきます。

 

チェビシェフの不等式の意味

大数の法則(弱法則)は、チェビシェフの不等式から証明できます。

まずは、チェビシェフの不等式の意味から見ていきましょう。

 

期待値とは?

分散とは?

 

この式の意味は、 \(\epsilon\) に確率変数 \(Z\) の標準偏差 \(σ\) (分散の平方根)の倍数を代入すると分かりやすくなります。

\(\epsilon=2σ\) :確率変数 \(Z\) が期待値から2標準偏差以上離れた値をとる確率は \(1/4\) 以下

\(\epsilon=3σ\) :確率変数 \(Z\) が期待値から3標準偏差以上離れた値をとる確率は \(1/9\) 以下

\(\epsilon=4σ\) :確率変数 \(Z\) が期待値から4標準偏差以上離れた値をとる確率は \(1/16\) 以下

 

正規分布に従う確率変数では「期待値(平均)から2標準偏差以上離れた値をとる確率は約2.3%」「3標準偏差以上離れた値をとる確率は約0.13%」であることを考えると、かなり余裕を持った不等式と言えます。

たとえるなら、「身長190cm以上の人は全体の25%以下しかいない」と言っているくらい「そりゃそうだろうな」となる、精度の低い不等式です。

 

ただ、これがどんな確率変数でも成り立つというのは重要な事実です。

チェビシェフの不等式の証明

証明法は色々ありますが、以下はその一例。

確率変数離散型連続型を問わず考えられる証明法です。

 

 

大数の法則(弱法則)の証明

チェビシェフの不等式が証明できたら、あとは \(Z\) に  \(\overline{X}_{(n)}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}\) を代入して、\(n \to \infty\) の極限をとれば大数の法則が証明できます。

 

 

Tooda Yuuto
「標本平均は母平均に収束する」というと強力な法則のように聞こえてしまいますが、チェビシェフの不等式という「ゆるい不等式」でも \(n\) をとんでもなく大きくすれば「標本平均は母平均に収束する」と言えるんだよ、くらいのゆるい法則であることが分かります。

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Tooda Yuuto
数字とにらめっこする日々を送る社会人。主に数学と統計学について書いています。
大阪大学卒/統計検定1級/趣味は旅行・温泉