微分の公式一覧｜アタリマエ！

このページでは、よく使う微分の公式をまとめています。

微分（導関数）の定義式

関数 $f(x)$ に対して、導関数 $f'(x)$ は以下の式で定義される

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

式の考え方は「微分とは何かを分かりやすくするコツは速度にある」を参照

xのn乗の微分公式

$(x^n)’=nx^{n-1}$ 　　( $n$ は実数)　

最も基本となる公式

$\left(\dfrac{1}{x}\right)’=-\dfrac{1}{x^2}$

$(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$(x^n)’=nx^{n-1}$ に $n=-1$ や $n=\dfrac{1}{2}$ を代入すると求まる

定数倍の微分公式

$(a)’=0$ 　　( $a$ は実数)

$(ax)’=a$

$(a\cdot f(x))’=a\cdot f'(x)$

例： $(5x^3)’=5×3x^{3-1}=15x^2$ 　　 $(7x^4)’=7×4x^{4-1}=28x^3$

三角関数の微分公式

$(\sin x)’=\cos x$

$(\cos x)’=-\sin x$

$(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

指数関数の微分公式

$(e^x)’=e^x$

$(a^x)’=a^x\log_{e}{a}$

$e≒2.718$ はネイピア数 , $a$ は任意の実数

「 $a^x$ の微分」と「 $x^n$ の微分」の混同に注意

対数関数の微分公式

$(\log_{e}{x})’=\dfrac{1}{x}$

$(\log_{a}{x})’=\dfrac{1}{x\log_{e}{a}}$

$(\log_{e}{|f(x)|})’=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$

$\log_{e}{x}$ は自然対数。 $\log{x}$ と省略表記されることが多い

対数微分法

$(x^x)’=(\log_{e}{x}+1)x^x$

$y=x^x$ の両辺の対数をとってから微分することで求まる

＞＞対数微分法のやり方

和・積・商の微分

$(a\cdot f(x)+b\cdot g(x))’=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x)$

例：

$(2x^3+4x^5)’=2×(x^3)’+4×(x^5)’$

$=2×3x^{3-1}+4×5x^{5-1}=6x^2+20x^4$

$(f(x)\cdot g(x))’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

例：

$(x^3\sin{x})’=(x^3)’\sin{x}+x^3(\sin{x})’$

$=3x^2\sin{x}+x^3\cos{x}$

$\left(\dfrac{f(x)}{h(x)}\right)’=\dfrac{ f'(x)\cdot h(x)-f(x)\cdot h'(x) }{ \{{h(x)}\} ^2 }$

合成関数の微分

$\{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x)$

例： $\{\sin^3 {x}\}’=3\sin^2{x}(\sin{x})’=3\sin^2{x}\cos{x}$

$f(x)=x^3$ 　,　 $g(x)=\sin{x}$