良い習慣を身につけるコツは「1つに絞って」「残りを固定する」ことにある【数と頭の体操】

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阪大の2000年の入試問題に、こんなものがあります。

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例えば、x=8なら(m=1,n=1)で表せますし、x=9なら(m=3,n=0)で表せます。

一方でx=1の場合、負でない整数(=0以上の整数)のmとnではどう組み合わせても表すことができません。

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こんな感じで「表せない x をすべて求めなさい」という問題です。

パッと見は「すべて求めるなんて、手間がかかりそうな問題だな…」と思うかもしれません。

しかしこの問題、ある事に気が付けば簡単に解けてしまう問題なんです。

その「ある事」とは、数学に限らず、良い習慣を身につけるうえでも役に立つ当たり前のことです。

今回は、この問題が気付かせてくれた「当たり前のこと」について書いていきます。

photo credit:d26b73

変数が2つ以上になるとワケが分からなくなる

この問題がパッと見ややこしそうに見えるのは、動かせる数(=変数)が2つあるのが原因です。

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2つ以上の動くものを同時に処理するのは簡単なことではありません。

x=13とx=14を見比べてみても分かる通り、その表し方が大きく異なるせいで、1つ1つ確かめようとするとかなり大変。

そこで重要になってくるのが「あえて変数を1つに絞って、残りを固定する」ことです。

あえて1つに絞って、残りを固定する

この問題は変数をmに絞って、nを固定してみると簡単に解けるようになります。

実際にn=0,n=1,n=2,n=3で固定してmを動かしたときに、
それぞれ x がどう動くか見ていきましょう。

①n=0で固定してからmを動かした場合

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n=0で固定すると、0以上の「3の倍数」をすべて表すことができます。

②n=1で固定してからmを動かした場合

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n=1で固定すると、5以上の「3の倍数に2を加えた数」をすべて表すことができます。

③n=2で固定してからmを動かした場合

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n=2で固定すると、10以上の「3の倍数に1を加えた数」をすべて表すことができます。

④n=3で固定してからmを動かした場合

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n=3で固定すると、15以上の「3の倍数」をすべて表すことができます。

「15以上の3の倍数」は「0以上の3の倍数」に含まれるので、n=0のときとすべて重複。

つまり、答えを求めるときにn=3は考える必要がないということになります。

同様に、n=4以降も「n=0,n=1,n=2」のどれかに全て含まれているので、答えを求めるときに考える必要がなくなります。

よって、答えを求めるときに考える必要があるのは「n=0,n=1,n=2」の3つだけということになります。

まとめると…

以上から、3m+5nで表せる x は

0以上の「3の倍数」

5以上の「3の倍数+2」

10以上の「3の倍数+1」

ということが分かりました。

これは、裏を返せば

0未満の「3の倍数」

5未満の「3の倍数+2」

10未満の「3の倍数+1」

となる x は表せないということでもありますよね。

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この条件を満たす正の整数は

1,2,4,7の4つだけ。

よって、求める答えは1,2,4,7となります。

物事を簡単にするコツは「1つに絞って、固定すること」

「変数を1つに絞って、残りを固定したら物事は簡単になる」

言われてみればすごく当たり前のことなのですが、いざ変数を2つ渡されるとつい焦って忘れてしまいがち。そのせいで、すごく簡単な問題ですら解けなくなってしまいます。

これって、新年度になって何か新しい習慣を身につけようと思ったときの感覚に近い感じがします。

By: Cliff

やる仕事が大きく変わったり、付き合う人が変わると、欲張って3つも4つも新しい習慣に手を伸ばしてしまいがち。

すると、変数がいくつもあるものだから頭の処理が追いつかなくなってきて、5月に入るころには「もう良いや!」となって続かなくなる。

逆に「今年度は○○だけはやるぞ!」と誓った事はわりと簡単に続くし、
その習慣が自分に合っているのかどうかを冷静に判断しやすいものです。

改めて考えてみると、一生続けたい習慣って「①ジムに通うこと②本をたくさん読むこと③アウトプットすること」くらいで、多く見積もっても10個もないはず。

そう考えると、1年に1つずつ新しい習慣を身につけていくくらいでも、全然遅くはないんですよね。

なのに、欲張ってあれもこれもと手を伸ばそうとするから、上手く行かなくなって、良い習慣が1つも身につかなくなる。

本当に身につけたい習慣を1つに絞って、残りの生活を固定化すると上手く行く。

こんな当たり前のことに、いまさら気が付いた今日このごろでした。