2倍角の公式・半角の公式とその証明。二等辺三角形で分かる2倍角の考え方

 

今回は、2倍角の公式と半角の公式について書いていきます。

 

2倍角の公式の証明

 

2倍角の公式は、加法定理の式に α=β=θ を代入することで求めることができます。

加法定理の覚え方。図形でわかる公式の考え方

2017.07.08

半角の公式の証明

 

半角の公式は、cosの2倍角の公式から求めることができます。

 

二等辺三角形から分かる2倍角の公式の考え方

 

2倍角の公式は、AB=AC=1,∠CAB=2θの二等辺三角形を考えると分かりやすくなります。

まず、線分CBの中点をM、点CからAB上に垂直に下した点をHとおきます。

 

すると△CAMと△BAMは3辺の長さがすべて同じなので、互いに合同です。

よって、∠CAM=∠BAM=∠CAB÷2=θ

直角三角形CAMに注目すると、CM=AC×sinθ=sinθ

直角三角形BAMに注目すると、BM=AB×sinθ=sinθ

CB=CM+BM=sinθ+sinθ=2sinθ

と求まります。

 

次に△BAMに注目すると、内角の和は180°より∠B=180°-90°-θ=90°-θ

今度は△BCMに注目すると、∠BCH=180°-90°-∠B=90°-(90°-θ)=θ

∠BCH=∠BAM=θであることが分かります。

 

CBの長さと∠BCHが求まったら、次は下図の青で示した2つの線分CHとAHに注目。

これらは「斜辺の長さ1 ,∠CAH=2θの直角三角形CAH」の1辺であることから

CH=AC×sin2θ=sin2θ

AH=AC×cos2θ=cos2θ

に対応します。

 

このCHとAHの長さを「斜辺の長さ 2sinθ ,∠BCH=θの直角三角形BCH」から考えると

sin2θ=CH=CB×cosθ=2sinθcosθ

cos2θ=AH=AB-HB=AB-CB×sinθ=1-2sin2θ

と求まり、2倍角の公式を示すことができました。

 

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。