余弦定理の使い道と公式の証明について

 

三角形ABCについて、点A,B,Cの内角をそれぞれ角A,B,Cとおき

点Aの反対側にある線分BCの長さを a

点Bの反対側にある線分CAの長さを b

点Cの反対側にある線分ABの長さを c

とおいたときに、以下の3つの式が成り立つことを余弦定理と言います。

 

余弦定理は、「2辺の長さとその間の角度」から「残り1辺の長さ」を求めたり、「3辺の長さ」から「3つの角度」を求めるのに使います。

 

2辺+角度⇒残り1辺の長さ

まずは、「2辺の長さとその間の角度」から「残り1辺の長さ」を求める場合。

 

「b=AC=4」「c=AB=6」「cos A =cos 60°=1/2」を代入すると、残り1辺の長さ a が求まります。

 

3辺の長さ⇒角度

次に、3辺の長さから角度を求める場合。

 

この場合は、余弦定理の式を「cos A =・・・」の形に式変形してから a,b,c を代入すると・・・

 

cos A =1/√2と求まり、Aの内角が45°であることが分かります。

 

 

同じように計算すると、cos B と cos C も求まります。

 

余弦定理の証明(鋭角)

余弦定理は、点Cから直線ABに垂線を下すことで証明できます。

 

まずは角Aが90°より小さい場合。

 

直線ABと垂直に交わる線分CDを考えたとき、直角三角形ACDに注目すると、三角関数の定義からCD=b sin A, AD=b cos Aであることが分かります。

CDとADの長さが分かったら、今度は右側の直角三角形BCDに注目

 

BCDは直角三角形なので、その3辺について三平方の定理 BC2=CD2+DBが成り立ちます。

ここにBC,CD,DBの値を代入すると・・・

余弦定理が成り立ちます。

余弦定理の証明(鈍角)

次は、角Aが90°より大きい場合。

 

こちらも cos A<0 であることに注意しつつ、ほとんど同じ流れで証明できます。

 

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。