順列と組み合わせの数の公式。どちらを使うのが正しいか迷ったときの便利なテクニック

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いま、「1」「2」「3」「4」「5」の5枚のカードがあるとします。

 

この5枚のカードについて、2種類の問題を考えてみましょう。

 

①:「この中から2枚を使って2ケタの数字を作る場合、作れる数字は何通りあるか?」

②:「この中から2枚のカードを選ぶ場合、選び方は何通りあるか?」

 

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この2種類の問題では、それぞれ答えが変わってきます。

 

①は順列で、答えは 5P2=5×4=20通り

②は組み合わせで、答えは 5C2=5×4÷2=10通りになります。

 

今回は、そんな順列と組み合わせの数の考え方についてです。

photo credit:William Warby

①順列

異なるn個の中から k 個を順番をつけて並べる場合の並べ方は P で表され、順列の公式から求められます。

 

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「!」は階乗(かいじょう)と言って、n から 1 までのすべての整数をかけ算した値のことを n! と表記します。また、0!=1と定義されます。

たとえば、 7! は 7×6×5×4×3×2×1=5040 を意味します。

 

初めに挙げた「1」「2」「3」「4」「5」の5枚で作れる2ケタの数

(12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,

34,35,41,42,43,45,51,52,53,54)の20通り

 

これは、この順列の公式を使う事で

5P2=5×4=20通り

と求めることができます。

 

下のように表にして考えると、順列が 5×4=20 になるのが分かりやすくなりますよ。

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「1」「2」「3」「4」「5」「6」の6枚のカードで作れる4ケタの数の場合は

6P4=6×5×4×3=360通りとなります。

②組み合わせ

一方、異なるn個の中から k 個を順番をつけずに選ぶ場合の選び方は C で表され、組み合わせの数の公式から求められます。

 

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組み合わせの数(C)は、ちょうど順列の数(P)を k! で割った値になります。

これは、順列では「並びだけが違う、組み合わせとして見たら同じものが1セットにつき k! 個ずつ存在する」のが理由です。

 

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初めに挙げた「1」「2」「3」「4」「5」の5枚から2枚を選ぶときの選び方

(12,13,14,15,23,24,25,34,35,45)の10通り

 

これは、この組み合わせの数の公式を使う事で

5C2=5×4÷2=10通り

と求めることができます。

 

これも、下のように表にして考えると「並びだけが違う、組み合わせとして見たら同じものが1セットにつき 2!=2 個ずつ存在する」のが分かりやすくなります。

 

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「1」「2」「3」「4」「5」「6」の6枚から4枚を選ぶ組み合わせの数の場合は

6C4=(6×5×4×3)÷(4×3×2×1)=15通りとなります。

順列か?組み合わせか?の判断テクニック

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では、ここで問題です。

 

「コインを5回投げたうち、表が2回出るパターンは何通り?」

 

この問題では、順列と組み合わせ、どちらの公式を使うべきでしょうか。

 

正解は、組み合わせの数の公式。答えは 5C2=10通りとなります。

 

この性質から、組み合わせの数は「コインを5回投げたときに2回表が出る確率」を求めるときなどに、二項分布の確率関数で利用されています。

コイン投げから分かる二項分布。正規分布やポアソン分布との関係性と近似について

2016.11.06

 

「どちらの公式を使うべきか少し迷った…」という方も多いのではないでしょうか?

 

このように、順列と組み合わせ、どちらの公式を使うべきか悩んだときに役に立つのが

「順番を並べかえたときに意味が変わるか?」で考えるテクニックです。

 

順番を並べかえたときに意味が変わる・・・順列

順番を並べかえても意味が変わらない・・・組み合わせ

 

たとえば、『5色の中から重複せずにカーテンとベッドの色を選ぶときの選び方』は

「青のカーテン+白のベッド」と「白のカーテン+青のベッド」では意味が変わるので、順列

 

一方、コイン投げは「1回目と4回目に表が出る」と「4回目と1回目に表が出る」では意味が変わらないので、組み合わせ

 

といった具合です。

 

①…2ケタの数「14」と「41」では意味が変わるので順列

②…「1と4を選ぶ」と「4と1を選ぶ」では意味が変わらないので組み合わせ

 

ぜひ、以上の考え方を使って順列と組み合わせの数の公式を活用してください!

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Tooda Yuuto
大阪大学を卒業後、数字とにらめっこする日々を送る社会人。当たり前なようでアタリマエじゃないことを日々探しています。